量子场论，弦理论与数学
人们通常认为，近代科学与以前的科学的区分别是近代科学有实验。这种看法是值得商
榷的。著名物理学家杨振宁教授和著名哲学家海德格尔认为近代科学的最根本的特征是数学和实验的结合，自然科学的定律用抽象的数学形式表达，从而达到前所未有的深度和广度。作为近代科学标志的两大发明，万有引力和微积分都是由牛顿创造的。在牛顿以后的科学发展中也反复印证了这一点。近代科学史上许多有伟大贡献的自然科学家也是数学家。这种状况一直延续到20世纪20年代。此后形式化的数学一度占据数学的中心， 数学在很长一段时间淡化了和其他科学，尤其是理论物理的联系。从20世纪20年代，量子场论开始出现并逐步成为理论物理的中心。
到20世纪70年代中数学和量子场论才开始建立起密切的联系。从80年代以来，获得菲尔兹奖的数学家中其工作和量子场论或弦论有直接联系的占一半。
对称性和量子化：支配物理和数学的两个基本原则
也许我们要问：为什麽量子场论和弦论会和数学有密切的关系？一个答案是，它们被相同的原则所支配。
其中最重要的原则是：对称性和量子化。
什麽是对称性？从一些建筑设计，巴赫的音乐和粒子物理中的CPT破缺（杨振宁和李政道的诺贝尔奖工作）
我们体验到各种离散对称性。伽罗瓦是第一个系统研究离散对称性并用于解决高次多项式方程不可解的问题的。
对于自然界连续对称性似更重要。例如我们有：
。从伽里略的相对性原理导出牛顿第一定律，
。从洛伦茨对称性导出狭义相对论，
。从坐标变换不变性和局域洛伦茨不变性导出广义相对论，
。经魏耳等人的努力，电动力学可以表述为阿贝尔规范场，即具有局域变换不变性，规范群是阿贝尔群
。非阿贝尔规范场，即杨－Mills场，是粒子物理的基础，也具有局域变换不变性，规范群是非阿贝尔群
这里我们也许可以用两个原理来表述对称性的重要作用：
爱因斯坦原理：物理世界的规律应该和我们的表述无关。
杨振宁原理：对称性支配相互作用。
上述原理在几何中也是基本的。几何量，如长度，面积，体积等也是和描述他们的方式无关。这一点充分反映在以下理论中：
嘉当和陈省身：活动标架法。
在70年代中杨振宁意识到规范场和陈省身先生研究的联络是一回事，似就是局域对称性在物理和几何两个领域的各自实现。
以下我们解释一下什麽是量子化。
量子化原理：微观世界的描述不能用决定性的方式来描述，他们是几率式的。事件的几率全体组成Hilbert 空间。
动力学变量实现为Hilbert空间上的算子。
玻尔相容性原理：我们对于世界的每一种描述是不完备的，但是他们是相容，自洽的。
测不准原理是玻尔相容性原理的具体实现。
我们知道，量子力学已成为了解微观世界的基本工具。在量子力学发明后不久，人们把它用到电动力学的研究上。
这时我们必须引入场的概念。经典的麦克斯韦方程是线性方程。它的解就是无穷多个波的叠加。其量子化乃是将无穷多个谐振子放在一起而无相互作用。当人们作计算时发现有许多无穷大。一直到1948年，量子电动力学才在引入重正化以后有了有限的定义并和实验吻合的极好。在1954年杨振宁－Mills 将规范场推广到非阿贝尔群。其量子化经许多人的努力得到实现。人们发现量子规范场理论是唯一具有渐进自由性质的量子场论。物理学家对于微扰场论用费曼图给出了定义。
到1974年物理学家建立了基本粒子的标准模型。从此物质场基本被标准模型所描述。在此过程中杨先生的“对称性支配相互作用”起了重要作用。拉氏量中的相互作用往往被对称性的考虑所决定。人们也试图在此框架下将引力量子化， 没有成功。实际上，引力场是不可重整的。
