我记得某本书上讲过一个故事。 说是A教授突发奇想， 让每个学生随手
写上两个自然数， 然后告诉他这两个数是不是互质（就是公约数等于1）。 教授一一作了统计，最后发现： 任取两个数，它们互质的概率是
6/P^2
我们用P表示圆周率, P^2 是圆周率的平方。
写上两个自然数， 然后告诉他这两个数是不是互质（就是公约数等于1）。 教授一一作了统计，最后发现： 任取两个数，它们互质的概率是
6/P^2
我们用P表示圆周率, P^2 是圆周率的平方。
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R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／π^2。
证明:考虑两个正整数最大公约数为n的概率，记为p(n)。
明显两个数最大公约数为n当且仅当它们从n的倍数中选取且它们除以n的商互素。
因此p(n)=p(1)/n^2.
而显然所有p(n)之和为1，因为两个数有唯一的最大公约数，故p(1)乘以所有正整数平方倒数和为1。而这个和为π^2/6，故p(1)=6/π^2。
证明:考虑两个正整数最大公约数为n的概率，记为p(n)。
明显两个数最大公约数为n当且仅当它们从n的倍数中选取且它们除以n的商互素。
因此p(n)=p(1)/n^2.
而显然所有p(n)之和为1，因为两个数有唯一的最大公约数，故p(1)乘以所有正整数平方倒数和为1。而这个和为π^2/6，故p(1)=6/π^2。
确实很巧妙，没想到这都能算出来。开头脑子没转过来，怎么都想不通为什么p(n)=p(1)/n^2，后来明白了。其实只要说成两个数最大公约数为n的条件是它们都能被n整除（任意一个自然数满足此条件的概率为1/n），且它们除以n的商互素，所以p(n)=(1/n) * (1/n) * p(1) = p(1)/n^2
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