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对于某些函数f(z) 的复光滑(全纯)性，这种共形性质能作什么呢?我们试试看如何得到复光滑几何内容的直观图像。让我们回到函数f 的"映射"观点，将关系w =f(z) 看成是一种z 复平面(函数f 的定义域)到w 复平面(值域)的映射.
我们要问:什么样的局部几何性质能够将映射塑造成全纯的?答案令人称奇。f 的全纯性实际上等价于共形且非反射的映射.非反射-一或保定向-一是指变换中保形的小块形状不是反射的，即不是"颠倒的".
w=f(z) 变换中的"光滑"概念是指在无限小极限情形下变换是如何操作的。先考虑实数情形,如果函数图在某一点有明确定义的切线，则函数f在该点上是光滑的。我们可以通过想象来画这条切线:将过该点的曲线逐步放大，只要它是光滑的，那么随着放大倍数逐渐提高，过该点的曲线就会越来越像直线，最后在无穷大放大倍数的极限下它就等效为切线。
复光滑的情形类似，只是需要把这一思想应用到从z 复平面到w复平面的映射上。为了检验这种映射的无穷小性质，我们在一个平面上面出点z 的紧邻域，并将它映射到另一个平面上w的紧邻域。而要检验点的这种紧邻域性质，我们想象用一个巨大的系数分别将z 和w的邻域放大，在极限情形下，从z 的扩充邻域到w 的扩充邻域的映射就变成了简单的平面线性变换。
由此可知，在一般情形下，从z 的邻域到w的邻域的变换可简单地看成是一种带均匀扩充(或收缩)的转动。也就是说，小的形状(或夹角)是不变的，而且没有反射，这说明这种映射确实是共形且非反射的。
一般组合(非齐次线性)变换w=az+b的特例给出平面的欧几里得运动(非反射)与均匀扩张(或收缩)的组合。事实上，它们是唯一的全复z 平面到全复w 平面的(非反射)共形映射。除此之外，它们还具有实际圆一一不止是无限小圆一一映射到实际圆，以及直线映射到直线的非常特殊的性质。
另一种简单全纯函数是互反函数 W =z^-l .它把去掉原点的复平面映射到去掉原点的复平面。神奇的是，这种变换也把实际圆映射到实际圆。(这里我们认为直线是一种特殊的圆一一即半径无穷大的圆)。这个变换与实轴的反射合在一起.就构成所谓的反演。而将它与前面考虑的非齐次线性映射相结合，则得到更一般的变换。它称作双线性或默比乌斯变换。