呃……
难道是问题不能问太细么……这个……
这问题是当年学微分几何的适配联络的时候想到的。
当时以为是度规能平移，所以是适配。但后来想想似乎这么个说法很不几何啊。用自平行与极值线的等价性来理解适配的几何来源似乎更直观。
大家以前学微分几何（如果学过的话）的时候没想过么？

我一直以为搞学术就是打工，没想到现在搞学术能催生打工…………
还好我不搞学术，哇哈哈哈哈哈哈～～～～～
看来我还要杯咖啡……

我现在连多味花生和麻油馓子都吃不起了……
以前小时候的零嘴啊，现在只能封嘴呢……

“如考虑纤维丛”打错了，应该是“不考虑纤维丛”……

你似乎还是没看对啊……
我知道要怎么做，我说的是为什么要用这种方法来定义适配。

按照你这里的方法来定义度规的话，度规的意义是什么？
要知道，度规和联络本来是分属于两个完全不同的系统的。
度规给出的是流形上的度量性质与内积性质，而联络给出的是流形上的“平移”性质。
按照你的方法来“定义”度规的话，这样给出的度规还有度量性质吗？
你看，从概念或者说从本体论来说，度量（度规）是和联络处于平等位置的两个基础几何对象，他们都是各自所隶属的几何属性的基本构成元素。而适配条件是将这两个所谓“一级”本体建立联系的桥梁。
而如果按照你的说法，用联络来构造度规，那就是说度规是一个次级本体，那么就是说流形的度量结构必须依赖于联络结构来确定？这是不合理的啊。
事实上，我们可以构造一个流形只有度量结构而没有仿射等别的联络结构，但同时也可以构造一个流形只有仿射或者别的联络结构而不具有度量结构——当然只要给出了坐标，度量结构可以看作是一个很自然的附加属性。
所以，从本体论的角度来看，你用联络来构造度规是不合适的。
当然，我的问题就是你所说的：为什么用一种看上去看代数的方法来定义适配条件而不是用一个看上去更几何的方法来构造适配条件。
当然，这个问题在黎曼流形上是不存在歧义性的，因为这两个条件是等价的。
但是，如果从另外一个更加宽泛的角度出发，那问题就复杂了。
从一个纯概念角度出发，度规是什么？度规是从流形的度量性质来导出内积性质的一个关键部分。如果说度量是一个函数而不考虑这个函数的具体形式的话（比如Finsler，打个比方而已），那度规就不是一个张量，而是一个双槽函数——度量是一个单槽函数。而度规这个双槽函数就可以给出流形上矢量的内积结构。
这里是但村从度量作为一个函数的角度出发所得到的结论。度规是一个对称二阶张量这个结果只是当我们把度量函数取定为特殊形式的二次函数的时候才有的一个结果。从纯粹的度量函数作为函数这个角度出发的话，度规也只是一个函数罢了。
而联络，从另一个流形附属结构这个本体出发，则是一个与平移方向相关的二阶张量函数——或者，更加普遍地数来，联络是一个栓槽的矢量值函数，一个槽是平移方向矢量，另一个槽是被平移矢量。
这样的话，适配条件在这个抽象角度出发来看，就是将上述两个函数——描述内积的度规函数与描述平移的联络函数——之间的桥梁。
在这个意义上，度规的平移不变是一个无意义的东西，取而代之的是由度规给出的内积结构，也就是从N+2指标张量到N指标张来那个的缩并。所以，度规的平移不变在这个语境下事实上就变成关于缩并运算的“平移不变”。
你看，在这个纯函数语境下，适配的代数特性很明显，但却一点都不几何。
尤其是，现在度规是一个双槽函数，而不再是一个二阶张量，所以对张量的平移在这里是一个无意义的操作，因为张量不再是一个张量了。
所以，在一个纯函数范畴中来讨论的话，除非我们将函数与张量彻底等同起来，否则所谓的“度规张量的平移不变”是一点都不几何的。
而，在一个纯函数范畴中来考虑几何上的度规，并且还要保持这个度规的“二阶张量”这个特性，这个做法在我看来是做不到的，至少我想了半天都发现这是不可能的。
当然，从Finsler看来，这个度规依然是张量，但这个张量还和某个“方向切矢量”相关，是切矢量的函数——你看，依然保留了函数特性，所以我相信度规的函数性质是无法消除的，取而代之，其张量性质能在多大程度上保留则不一定。此外对于曲线而言，这个切矢量很实在很显然，但如果对于整个场来说，这个切矢量就显得无从定义了。尤其对于张量场，张量场的切矢量并没有很好的定义。
当然，对于Finsler我也不是很了解，我只能从纯函数范畴的语境去理解这个问题。

17楼：
我没说不能用代数关系来定义啊，我只是问为什么大家采用的是代数方法而不是几何方法。
而且，你看，我们研究的是几何，至少纯粹的微分几何学是一门结合学而不是代数学，当然几何是和群相关联的从而也必然和某些代数关系相关联，但至少我认为微分几何的主体还是一门几何学——如果说的是代数几何，那这个问题再议。不过我们所谈论的是微分几何。
既然是一门几何学，那把两个几何量关联起来的东西如果是几何的，不是很自然吗？
就好比我们要比较数字A和数字B，用两个数字的相等来关联是最好的，而如果我们用这两个数字满足某个复杂函数来表征数字A和数字B的等价，这不是很麻烦很绕圈子的事情么？
18楼：
任何张量都是函数，这点没问题。但反之则不对——任何函数不一定都是张量。
我这里强调的是函数的本体性质，也就是说，作为一个双槽函数，度规在纯函数的语境下可以完全不是一个张量。
这才是一个主体问题，反之只是一个特例。
而你所说的“度规张量协变为零”，不还是在说度规张量的联络平移不变么？这不过是把我所说的话用另外一组词汇重述罢了。
而“长度方向不变”则是自平行在又一个语境下的重述罢了。
所以，你17楼的叙述在本质上是在重申我所说的代数意义下的适配条件定义，但并不能作为只能用代数意义下适配的理由，因为你没有说出不能用几何意义做适配的原因。
这个就好比申请一场活动，你叙述了你作为承办方的合理性，但没有说出你相对于我这个申请者的优越性，以及我作为承办方的不合理性。
此外，还有一点，那就是在黎曼几何中两个方面入手的适配是完全等价的，所以从黎曼几何的情况中我们也不能看出这两个方面的适配条件孰优孰劣。
19楼：
Finsler下的Chern联络的确如此，它既不满足我所说的代数意义上的适配，也不满足我所说的几何意义上的适配。
但是，这里就出现这么一个问题了：如果联络与度量不用完全适配的话，我们有什么合理的理由可以说用联络刻画的曲率真是描述了流行的弯曲情况呢？
事实上，如果联络与度量不适配，那么由于曲率是由联络给出的，那我们只能说现在的曲率给出了流形的联络结构的弯曲程度，但对于流形的度量结构的弯曲程度就无从说明了。
因而，这里就有一个问题了：描述一个流形几何性质的到底是其度量结构还是其联络结构呢？而流形的弯曲情况自然也是流形几何性质之一了。如果说流形的弯曲情况只与联络结构相关，那流形的度量结构不就成了独立于这些之外的一个独立的流形几何性质了吗？这是不可思议的，因为两者完全分离了。
同样，在Finsler的Chern联络下，由于是“几乎适配”，所以我总感觉此时由他给出的曲率并不能完全地描述流形的弯曲。
事实上，我之所以提出这个问题，另一个原因也就在于：如果度量与联络是在我所想的几何意义下适配的，那此时的曲率自然是完全地描述了流形的联络结构与度量结构的弯曲情况。而如果度量与联络是在我所想的代数意义下适配的，那曲率就职描述了流形的联络结构的弯曲，而度量结构的弯曲则只在一个代数意义上与联络结构的弯曲相关，那此时流形的真实弯曲情况到底是看联络的还是度量的？虽然两者在某个代数意义上是相关的。
总之，这样看来的两个结构的相关是很不直接很不自然的。

这个东西要从一个高维来看了。
比如从三维中看二维曲面，那么真实弯曲情况就是实际上所看到的曲面形态。
一般而言，可以用第一形式、第二形式来描述。
其中第一形式是曲面（或者N维流形）的度规（从而是度量性质），而第二形式是嵌入在高维中的外曲率张量（和所嵌入高维中的协变微分在流形上的限制相关，从而是的联络性质）。
所以，一个曲面的真实弯曲情况分为内秉的——度量性质，也就是第一形式——和外在的——联络性质，也就是第二形式。而且，对于同一个流形，这两个形式必须是不矛盾的。
当然，由于第二形式与嵌入方式有关，所以事实上当不从高维看的时候，原则上主要看的是第一形式，也就是度规。因而，在我看来流形的真实弯曲情况反应的是内秉弯曲情况，从而应该是由度量来决定的。而如果联络与度量不在几何意义下适配，那用联络给出的曲率就不能很直观地表达流形的这种内秉的真实弯曲情况——相差一个或许很复杂的代数关系。

对了，还有一个比较合适的方法来描述高维中低维曲面的“真实弯曲情况”，那就是做一个高维椭球，使这个椭球与给定曲面在给定点相切。
由于是高维椭球，所以这里相切的要求事实上还是挺高的，不能只在一个方向上相切，是所有方向。
从而，现在这个与曲面在给定位置相切的椭球就可以用一组参数来描述（不考虑椭球N个轴的转动带来的变化）。这组参数就唯一给定了曲面的真实弯曲情况。
当然，这个参数事实上是和第二形式相关联的，而且，自然也与嵌入方式相关。
低维的平坦曲面嵌入到高维中是可以引出一个非零曲率的，这个可以通过别的嵌入方式来消除或者改变。
所以我还是坚持用第一形式，虽然第二形式非常“直观”。

你所说的是从高维流形的度规来“诱导”出低维上的度规，但事实上后者是可以内秉存在的。
而且，作为将低维嵌入到高维的一个要求，就要求这样嵌入以后低维度规可以作为高维度规的诱导。也就是“保角映射”。
所以，你所说的是对嵌入操作的限制，而不是对低维度规的约束。

似乎被岔楼歪得太过分了……………………
度规是一个流形的内秉性质，保角映射则保持流形的度规并将其嵌入到高维中，所以应当是对嵌入方式给出了一个限制。而流形在高维中才能谈起它的切矢量这么个东西吧，所以在谈论内秉性质的时候不存在这个东西吧。就好比如果没有嵌入的话，谈论第二形式是没有意义的。
所以，并不能说应为度规是内秉的，所以外曲率张量也是内秉的。
事实上，平面也可以嵌入成一个外曲率张量非零的子流形啊，难道你能说平面的内秉曲率就因为外曲率非零而非零了吗？
还是别岔楼了，风神明显被岔得在说和主题无关的话了……

你说的切矢量就和嵌入后的切矢量没关系了，所以也就和第二形式没关系了。

39楼：
黎曼情形下的话，我所说的几何意义上的适配和代数意义上的适配就是等价的，所以无法体现出区别了啊。
但我想，既然描述曲面弯曲情况的第一形式是度规，从而是度量，那用几何意义的适配（在一些非黎曼情况下才有区别）应该才能更加直接和自然地描述出曲面的弯曲情况，而不是代数意义上的那个适配。

另：的确是法矢量。我前面一直忘记这个东西应该怎么叫了，所以只能称呼它为外曲率张量了。就是那个K_ij