求满足2p^2+p+8=m^2-2m的所有素数p和正整数m

(2p+1)p=m²-2m-8=(m-4)(m+2)
分两种情况:
(1) p|m-4，则m-4=n*p，则有2p²+p=n*p*(n*p+6)=n²p²+6np
    ==> 2p+1=n²p+6n ==> p=(6n-1)/(2-n²)
    n=1时，p=5，m=9
    n>1时，p<=0，无解
(2) p|m+2，则m+2=n*p，则有2p²+p=n*p*(n*p-6)=n²p²-6np
    ==> 2p+1=n²p-6n ==> p=(6n+1)/(n²-2)>=2
    ==> 1<=n<=3 ==> 无解
   


犀利

2p²+p+8=m²-2m 若m为偶数，则m²-2m为偶数，则p为偶数，即p=2，此时m²-2m=m(m-2)=18=3*6无解 若m为奇数，设m=2k+1,代入上式得，p(2p+1)=m²-2m-8=4k²-9=(2k-3)(2k+3) 所以有2k-3=np,其中n=1,2,3,.... 代入得p(2p+1)=np(np+6) 即2p+1=n(np+6) 显然n<=1,即n=1 所以2p+1=p+6, 所以p=5 k=4, 所以p=5 m=9(答案唯一)