集和是一堆事物，一堆东西，可以是任何东西。但我们把乱七八糟的一系列东西放在一起，虽然也是一个集和，但这样的集和是难以找寻规律的。我们常常把一些具有共性的事物和东东放在一起形成一个特定的集和，是因为这样的话，我们就可以创建一个针对这个共性的映射，将这个特定集和与另一个特定集和相联系。而对乱七八糟的集和来说，创建这样的映射是一件痛苦的事情，而且也没啥用。比如我们可以把“杯子、厉风、洞庭湖、某股票价格、英语”放在一起形成一个乱七八糟的集和，然而这个集和我们几乎无法使用，仅仅表达了一堆东西的存在而已。而如果我们把“厉风、CloudK、碘化亚铜、zmt0516”放在一起形成一个集和，那这个集和的每一个事物都有一个共性：是“物理吧id”。于是可以针对这个“id”共性创建一个映射，比如映射到“id的年龄”这个集和。所以在数学中出现的集和，基本上都是具有共性的一堆事物。因为我们考虑数学都有很强的针对性，所以集和的共性是一个十分突出的要求。
关于集和的一些简单术语。
集和中的每一个事物，都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”。集和根据元素的个数，可以分为两大类：有限集和，和无限集和。前者拥有有限个数的元素，后者则有无限个元素。对于有限集和，可以用穷举法把每一个元素都列出来。而对于无限集和，无法用穷举法了，只能用描述元素共性的方式来表达了。
当一个事物是一个集和中的元素的话，我们就称该事物属于该集和。相反，我们说一个事物不属于某集和，就意味着这个事物不出现在该集和中，或者说该事物不符合该集和的共性。
一般的有用的集和都要含有一些元素，但也有不包含任何元素的集和，称作“空集”，地位相当于数字中的0。
集和与集和之间有一定的包含关系。如果集和A的所有元素，都是集和B的元素，那就称A是B的子集。也就是说，集和B的范围涵盖了集和A的范围。比如集和A是“所有小于1的整数”，集和B是“所有小于4的整数”，于是A是B的子集，因为A中每一个整数都是B中的元素。B比A还多出3个元素：1、2和3。
但是要注意，“子集”相当于数字中的小于等于号，比如一个集和也是它自身的子集，因为它符合子集的定义。这样一来，就可以定义两个集和相等了：如果集和A和B相互是对方的子集，那么A与B相等。就好象两个数x和y，如果x<=y，同时y<=x，于是x=y。
如果A是B的子集，而B不是A的子集，那么称A是B的“真子集”，相当于数字中的小于号。
空集是任何集和的子集，是任何非空集和的真子集。
对于集和，还有一个很关键的概念：集族。
一个集和的元素可以是任何东西，包括集和。于是一堆集和所构成的集和，称为“集族”。集族的每一个元素都是一个集和。每一个元素（集和）的元素数量可以是任意的。
任何一个集和都有一个很特殊的集族：一个集和有很多个子集，对于有限集来说，可以通过排列组合来计算出子集的个数。所有的子集所构成的集族，就称为该集和的子集族。举一个简单的例子，一个集和A={1,2}，于是A有4个子集：空集、{1}、{2}、{1,2}。那么集和A的子集族={空集、{1}、{2}、{1,2}}。集和A的子集族用记号2^A来表示，具有这么奇怪的记号，是因为一个含有n个元素的集和，其子集的个数就是2^n个。仅此而已。

3楼，这段话的确很有启发性，也说出了集和乃至数学的一个本质：不断地向底部抽象。这句话原文我是从LostAbaddon那里看到的，他是个强人。

在集和中引入一个叫做“拓扑”的构造，目的是用来考察映射的连续性以及可微性。这样，对于一般的集和，也可以进行如数字那样的高度运算和处理。目前对集和有两种发展：在集和中导入代数运算，就形成了集和的代数。在集和中导入“拓扑”，就形成了一种几何学，即“拓扑几何”。
那什么是“拓扑结构”呢？它的表现形式是啥？为啥导入它就能够形成几何学呢？这些问题要慢慢来体会。
数字与几何学的接合处，有一个关键的概念，就是“连续性”。数字可以连续地排列，连续排列好的数字构成了一个数集。拓扑的概念是为了推广这种数的连续性到一般的集和中，也即把“连续”这个数的概念推广到一般的概念。
先看看在数的领域中，是如何搞“连续”这个概念的。
在高数中，函数的连续定义可以认为是一个函数在所有点的左极限和右极限相等。左极限、右极限具有方向性，这牵涉到一个很本质的概念：数列的收敛。
我们可以用ε-δ语言来定义数列的收敛性：一个数列f(n)在n0位置收敛，意味着对于任何一个大于0的ε来说，总存在一个大于0的δ，当n>n0的时候，|f(n)-f(n0)|都小于ε。我们在函数的极限那里也看到了类似的定义，本质是一样的：一个收敛的东西，在收敛点附近，随着自变量（数列索引）不断靠近收敛点，函数值（数列值）总是一起逐渐靠近收敛点的函数值。在这里的“靠近”的意思含有“值与收敛值的差越来越趋近于0”的意思。
满足这种定义的数列和函数，具有收敛的效果。收敛意味着存在一个极限，也意味着数列和函数的值，不是处于“震荡”的状态，而是处于一种稳定的状态。比如数列1/1，1/2，1/3，...，1/n就是收敛的。
在这里能够明显地体会到“距离”的影响。那些“靠近”、“差值”字眼都是距离概念的具体表现。想像一下，如果抽掉距离概念，这些字眼将还留下什么意义：没有距离，何谓“靠近”？而“差值”这个字眼则直接是实数集中距离的定义，越来越靠近，就是差值越来越小。
拓扑就是抽掉了距离概念后，为了继续维持“连续”定义而引入的一个东西。
数的连续性是以“距离”概念为基础的。下面就要看看“距离”概念的本质含义是什么，如果找到了这些本质的东西，就能对这些东西进行合理的推广，而实现“没有距离概念也要有连续的定义”这个目标。

上面的ε-δ定义写错了，更正为：
一个数列f(n)在n0位置收敛，意味着对于任何一个大于0的ε来说，总存在一个δ>0，当n>δ的时候，|f(n)-f(n0)|都小于ε。

我要是能做老师，对我来说是很幸福的。。。
我记得我大学时候老师们上课，有的是照着教材念，结果慢慢这些课我就开逃了，上了也白上，不如自己看书。有的老师就很好地解释一些难以一下子看明白的地方，这些课我从来不逃，逃了的话我会跟不上进度。跑图书馆的目的，除了找一个安静的环境看书做作业外，就是找书架上的那些专门提点学生们怎么去理解一些关键问题的辅导书。
拓扑教材我看了好几本，几乎全部都是从公理的角度阐述定义、给出定理、证明定理，而且还几乎都完全一样。这么多书，只要有一本就行了。只有一本拓扑教材（或许不该叫教材吧），名称是《拓扑学的基础和方法》，是一个叫“野口宏”的日本鬼子写的，就是按照理解的顺序一步一步引入拓扑概念，然后再根据逻辑关系慢慢地提出整个拓扑。我是看了这本书才把握了拓扑是啥东西，然后看了梁老师那本教材的开头，才终于理解了为啥要引入拓扑，拓扑与几何是啥关系。

既然教材上有完整的、系统的拓扑学体系知识，那还要老师干嘛？还要上课干嘛？看书自学就可以了嘛。老师上拓扑课的时候，我才不信老师们从来不说一些教材上隐晦不语、让学生们自悟的内容。
梁老师看来是一个经验丰富的老师，所以他在教材中才可以精炼地写出学生们最难以把握的内容，而且一看就能够融会贯通。
拓扑学很抽象，任何形式的“具体形象”都会限制对拓扑学的完整的理解，所以举例子只是一个提示的手段，而不是一个“到此为止即可”的绊路石。你看梁老师的那本书，里面的例子都是具有启发意义的，都是“看了这个例子可以更好地理解”的。
学拓扑更重要的是要会举一反三，自己去想象一些符合要求的案例。集和的概念是抽象的，我们可以想象一些具体的东西来看看这些集和的结论是怎样用在具体事物上的，多想一些，就能多理解一些。id=“拉普拉斯”的强人曾经跟我说过，学拓扑，学微分几何，最忌画图。因为画出来的二维透视图，都限制了最接近真实的想象。

嗯，好的老师，一方面可以顺着主任的思路，帮学生掌握主任认为该掌握的知识，另一方面还可以顺着学生们的思路，帮学生掌握最根本的思想和思路。

说得好！！赞你那句“ 好的老师是有一滴水都能倒给学生的人，而不是有一桶水却一滴都倒不出来的”。。。但也要考虑到教学过程中让学生自主思考，培养独立思考能力方面的机会，但是如果到最后到死都不肯把肚子里的那些水全部倒出来的话，那就是叫兽了。。。

距离概念在简单的一维实数集上定义为坐标差的绝对值，在二维平面上定义为坐标差的平方和的开根……反正是一系列坐标差的函数。所以我们的这些距离概念中，基础的内容就是坐标差，所以我们来看看一维实数集中坐标差的含义。
能够用坐标差来表示距离概念，是通过我们在实数集上，把所有实数都按照大小顺序进行了排列来实现的。如果一根数轴上的数字并不是按照大小来排列好的话，那么坐标差就完全无法体现距离概念了。再深入下去想一下的话，我们会发现，对数字进行排列，其实是对数字进行编号，编号越大的数字，排在越靠近“大”的方向。于是，距离概念其实就是编号与编号之间的差异值了。这样一来，就算我们不按照大小顺序排列，我们对数字进行一个随意排列，只要对每一个数字都编好号，我们也可以对任意两个数字进行“距离计算”：距离=编号差的绝对值。
现在暂时把视角转换到集和上来，看看集和中的元素（不一定是数字了）之间是否也能以此来搞搞距离概念。
其实也一样，只要把所有元素都编个号，我们就可以定义任意两个元素之间的“距离”了。然而这个“距离”，与现实中的距离已经有了差异，或者说集和中的“距离”，比现实中的距离概念要更广泛。
然而我们在把上面这种编号法用到二维平面上，就会发现是行不通的了。二维平面是一个集和，其中每一个元素都是一个由两个数字构成的实数对。那么我们该如何对任何一个实数对进行编号呢？编号只能从一个方向进行，而二维平面是有两个坐标方向的。比如我们对(1,1)这个数对编号为5，那么我们对(1,2)该如何编号？对(2,1)又该如何编号？无法编号！这里的根本含义是：实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？这说不出来的。
同样，对集和中的元素来说，“大小”是无关紧要的概念，于是“距离”也是无关紧要的概念。比如对一个集和={A,B,C,D}来说，这个集和只是罗列了四个元素，并没有说一定要按照A->B->C->D这个顺序排列，{A,B,C,D}与{B,A,D,C}是完全一样的集和。任何含有且仅含有这四个元素的集和，都是相等的。
于是，我们在实数集（数轴）中，把元素按照一定顺序排列的做法，就是一种十分特殊的情况了。只有那种其元素本身具有大小属性的集和，才能自然地排列、编号、定义距离。在一般的集和中，无法也无必要进行这些操作。
现在回到“连续性”的问题上来。集和中不需要定义距离概念，那么集和中可以有“连续”的概念吗？可以！为何要在集和中搞出“连续”概念呢？因为我们要把集和与几何结合起来。
数轴上的连续性，是使用距离来定义的，回顾一下那个ε-δ定义，就是用坐标差（距离）来定义的。而且后来所用到的“开区间”这个新的表现形式，本质上还是使用距离这个定义的。
“连续”这个概念，可以用“开区间”来定义。后面会推广“开区间”这个概念到“开集”，所以这里提前说，“连续”概念可以用“开集”来定义。

这里我们先看看“开区间”的含义。
假设一个数字x小于b，大于a，也就是x位于开区间(a,b)中。如果x是小于等于b，大于等于a，那么说x位于闭区间[a,b]中。
现在给出实数集中“开集”的定义：
设实数集R中有一个子集P，如果在属于子集P中的每一个点x，都存在至少一个包含x点的开区间(a,b)是P的子集，那么P就是一个开集，并称P是点x的开领域。
这是啥意思呢？
比如(1,2)这个开区间，我们要考察这个区间内的每一个点，是否都有一个包含该点的，并且含于(1,2)区间的区间。对于像1.2，1.4，1.75这样的点来说，我们总可以找到比这些数字稍微大以及小那么一点点，但不达到1以及2的实数作为区间，这些区间都满足“开集”的定义。
设点x属于(1,2)区间，那就是说1<x<2。那么(1,2)这个开区间本身就是一个含有点x的区间，同时(1,2)是(1,2)本身的子集。所以这是一个开集。推广之，任何开区间都是实数集上的开集。
那么对于闭区间呢？比如[1,2]这个区间是否开集呢？
设x属于[1,2]，即1<=x<=2。我们考察边界上的一个点，比如考察x=1的那个点，看看是否符合开集定义。
在x=1处，我们要找一个含有点x的开区间(a,b)，那就意味着a<1<b。在这里我们起码可以找到一个数字y，满足a<y<1。可是这个y却不属于[1,2]这个区间。于是这个闭区间不是开集。推广之，所有闭区间都不是开集。
于是有结论了：在实数集中，所有开区间都是开集；所有闭区间都不是开集。
现在来看看实数集R本身，看看是否开集。
很显然，对于任意一个数字（点）x来说，任何包含该数字的开区间，都属于实数集，所以实数集本身是一个开集。
最后再看看空集这个邪恶的集和，是否开集呢？
说空集是开集是十分牵强附会的，因为空集没有任何点，所以说“包含一个点的开区间”在空集中是毫无意义的事情。但数学家们发现，如果把空集规定为开集的话，那将会有很大的方便性。于是，我们只要记住：空集是开集即可。
开集，说到底就是那些没有确切边界的子集。任何有确定边界的集和都不是开集，因为我们可以在边界处找到那些不符合开集定义的点。比如在R^3空间内，一个去掉表面的球体就是一个开集，而一个包含表面的球体就不是开集。另外，那些无边无际、边界位于无穷远处的集和也是开集，比如实数集R。

开集是开区间的推广。在实数集中，开集和开区间是等同的概念。而在其他非数字元素的集和中，由于元素之间不存在大小的关系，所以开区间的概念是不存在的，但是却可以有开集的概念。
然而在一般的集和中，开集是需要确切地给出的，而不是天然就具有的。比如一个集和={A,B,C,D,E,F,G}，元素是英文字母，没有大小的概念（虽然可以按照顺序排列，强行定义大小，但这种大小属性不是英文字母天然的属性，否则英文单词就有哪个字比哪个子更大这种无聊的说法了）。于是这种集和并不像实数集那样天生就具有开集。但我们可以在这个集和中指定哪些子集是开集，哪些不是。
现在暂时回来一下说说“连续性”的问题吧，时刻关注“连续”的问题是拓扑学的根本。
还是以平面解析几何为说明问题的例子。平面是一个R^2集和，也是天然具有“开集”的集和，就是“开区间”。
我们说一条平面曲线是连续的，指的是这条曲线上的每一点的左极限都等于右极限。这是高等数学中的定义：从左边沿着曲线靠近一个曲线上的点，有一个极限的点位置；同样从右边沿着曲线靠近，也有一个点位置。如果左极限点与右极限点重合，那么曲线在这个点是连续的。连续意味着没有断裂这样的“突变”，有断裂的突变，那么左边的极限点就不与右边的极限点重合了。
现在用另一种方法来看看连续的问题。用“开区间”这个工具。
假设y=f(x)是一个单调递增的函数，于是f曲线是一条始终向右上方延伸的曲线。单调递增函数是一个单映射，也是一个满映射，于是是一个双射。
考察f曲线中的一个点。如果这个点是一个断裂点，那么f(x-)与f(x+)是不相等的。f(x-)是x点的左极限，f(x+)是右极限。（见下图-3）
那么在y轴上，断裂处对应着两个点，设下端为y=c。那么在y轴上存在若干个位置，这些位置在“断裂处两个端点所对应的y轴的开区间”内，比如y=b这个点。然而这些点（y=b点）所对应的x轴上的横位置，却都是c'。于是，y轴上对应的一个开区间，对应着x轴上的一个半闭区间(a',c']。

然而对于整条都连续的曲线来说，y轴上的任意一个开区间，都对应着x轴上一个开区间或者若干个开区间的并集。
据此我们可以说：一条平面曲线是否连续，就是看像集中的任何开区间，其逆像集是否也是开区间或者开区间之并。如果我们规定“开区间之并”也是“开区间”的话，那么判断依据就简单地表示为：一条平面曲线是否连续，就是看像集中的任何开区间，其逆像集是否也是开区间。
于是，我们成功地找到了“连续”和“开区间”（也就是开集）之间的联系。

在平面R^2集中，我们用开区间来判断是否连续。那么在一般的集和中，我们也通过开集来判断是否连续。
从上图-2可以看出，任何非单调函数，一段y轴上的开区间，将会对应到x轴上两个开区间的并集。而另一种类型的函数曲线，比如是一个圆周，我们会看到一段y轴上的开区间，对应着两个x轴上的开区间的交集。而如果是一个类似于“φ”这样形状的曲线，一段y开区间，也对应着两个x开区间的交集。
所以，要考虑一般曲线的连续性，我们还要看开区间的并集和交集是否也是开区间。在实数集中，这是明显成立的：开区间之并还是开区间；开区间之交也是开区间。那么开集概念呢？
开集之并：
设两个开集U和V，X是U和V的并集。取X中的一个点x，那么显然x属于U或者x属于V。
若x属于U，而U是一个开集，那么对于x存在一个领域A，该领域是U的子集，也是U和V的并集的子集。同样，若x属于V，x也存在一个领域B，该领域是V的子集，也是U和V的并集的子集。所以U和V的并集是一个开集。
开集之交：
同样两个开集U和V，X是U和V的交集。在X中取一个点x，那么x既属于U，又属于V。
x属于U，U是一个开集，所以可以找到一个包含x的领域A，A是U的子集；同时x也属于V，也可以找到一个包含x的领域B是V的子集。A、B这两个领域都包含x，那么这两个领域A和B的交集，设为领域C，也必然包含x，同时领域C是U和V的交集的子集。这个交领域C的存在，使得U和V的交集成为一个开集。
于是结论是：开集的并、交都是开集。但这里有一个很容易忽视的问题：如果开集的数量是无限个，那么无限个开集的并和交还是开集吗？
答案是：无限个开集的并集还是开集，可无限个开集的交集不一定还是开集了。
可以这么理解：无限个开集的并集，并不会产生一个确切的边界，并集也不会缩小到一个点，所以无限个开集的并集还是开集。
可是无限个开集的交集可以产生一个只包含一个元素的集和，这个元素由于不含有其他元素，所以它没有领域，也就找不到一个领域使得该集和成为一个开集。所以无限个开集的交集并不一定就是开集。但有限个开集的交集肯定是个开集。
我们离开完善的连续性定义更近了一步：通过开集，以及开集的并、交还是开集的性质，我们可以定义集和间映射的连续性：当像集中的一个开集的逆像也是一个开集（包括若干开集的交，任意开集的并），那么这个映射就是连续的。
连续的映射如果是双射，那么映射所联系的两个集和也是连续的。
至此，我们成功地用不含有“距离”概念的开集概念，给出了集和的“连续”定义。
现在我们把上面所讨论的开集这个东西拿出来晒晒：
1、我们所讨论的集和的全体，必须是一个开集。
2、空集也是一个开集。
3、有限个开集的交集是一个开集。
4、任意个开集（有限或无限个）的并集是一个开集。
这，就是拓扑中关于集和中指定的所有开集所必须满足的条件。在一个集和中，我们可以指定很多个开集（有限个或者无限个），只要这些开集符合上面这4个条件，那么这些开集的全体，就是该集和的拓扑。一个集和可以指定很多种形式的开集全体（开集族），每一种形式的开集族，确定了这个集和的一种“连续性质”。所以我们把一个集和，以及对这个集和指定的一套符合上面4个条件的开集族（拓扑），称为一个拓扑空间。一个集和可以有很多个拓扑，形成很多个拓扑空间，所以一个拓扑空间必须含有两个因素：集和本身，以及一套具体的拓扑。

上面那么多楼的那么多文字所表达的含义，我几乎在我所看到的那几本拓扑学教材中都没有看到，而却在那本鬼子所写的书中看到了很多（有些地方还是不够）。我真的很疑惑：咱们那么多“不同”的教材，却都用相同的结构、相同的思路、相同的形式来描述拓扑知识，这些教材就像在OO编程中同一个类所生成的一系列具有完全相同特性的实例一样，除了“作者”、“著作日期”、“书名”等一系列不同实例属性之外，行为、特征完全一致，就像相互抄出来的。