(3)
假设有2个笛卡尔坐标系K和K`
【PS:在数学里,笛卡儿坐标系(Cartesian coordinate system),也称直角坐标系,是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内,任何一点与坐标的对应关系,类似于数轴上点与坐标的对应关系。
简单地说就是初中里学到的平面直角坐标系和高中学的立体直角坐标系】
坐标系K又横轴X、纵轴Y和竖轴Z,我们用横坐标x、纵坐标y和竖坐标z来确定坐标系K
同样,另一个坐标系K`也是这样。
为了简化问题,我们把这个三维的坐标系化成一维的
即只有横坐标x和时间t。
我们假定坐标系K相对坐标系K`是静止的,而坐标系K`相对坐标系K做匀速直线运动,
坐标系K`也是由横坐标x`和时间t`来确定的。
我已经知道x和t的值,现在要求x`与t`的值
我们只考虑X轴,而且假定K`坐标系的X`轴是与K的X轴完全重合。
假设在这个一维的空间中的某处有一个手电筒,手电筒发出一束光,这束光与X轴重合
且沿着X轴传播。
那么,根据光速不变原理,这束光相对于坐标系K是以光速运动的,而K`相对于坐标系K是做
匀速运动的,再根据狭义相对性原理,坐标系K`中观察到的光速也是以光速c传播。
假设光沿着X轴的正方向传播,而K`相对于K也沿着这一方向运动,
则我们可以得出公式
X =ct。
稍微变形就是
X-ct=0
根据光速不变原理,坐标系K`得出的结论也是
X`-ct`=0.
那么我们可以看出,这两个坐标系得出的结论中有某种变换关系,就像伽利略变换一样。
列举出来,就是
(X`-Ct`)=γ(X-Ct)
其实有的人一眼就能看出来,γ指洛伦兹因子,但是我们现在还不知道,暂且认为γ是一个常数。
再来看看如果光沿着X轴负方向运动,而K`相对K沿正方向运动,则得出结论
(X`+Ct`)=π(X+Ct)
这里π也是一个常数,当然不要误会,这不是圆周率。
我们把这两个式子(X`-Ct`)=γ(X-Ct)和(X`+Ct`)=π(X+Ct)
相加和相减,得到一个一次方程组。其中有两个未知数x和t,所以这是一个二元一次方程组。
X`=X(γ+π)/2 -Ct(γ-π) /2
X`=Ct(γ+π)/2 -X(γ-π) /2
我们把(γ+π)/2和(γ-π)/2分别记住a和b
那么得到:
X`=ax-bct
X`=act-bx
假设x`=0,则
x=bct/a
把x换成速度v
得到
v=bc/a
我们可以得出结论,v是坐标系K和K`相对运动的速度。
再假设t=0,又X`=ax-bct
则X`=ax
那么
△x=1/a
这是我们所得到的瞬时位移。
再把v=bc/a代入到这个结论里,得到
X`-a(1-v²/c²)X
又△x=1,这我们得到是瞬时位移应该是
△X`-a(1-v²/c²)
又△x=1/a和△X`-a(1-v²/c²)相等,
得到
a=1/(1-v²/c²)
所以我们得到了a的值,即(γ+π)/2的值,
同样的方法可以得到b的值,我们把得到的a和b的值代入方程组
X`=ax-bct
X`=act-bx
得到一个方程组:
这就是洛伦兹变换,
反过来:
用矩阵表示是
其中
假设有2个笛卡尔坐标系K和K`
【PS:在数学里,笛卡儿坐标系(Cartesian coordinate system),也称直角坐标系,是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内,任何一点与坐标的对应关系,类似于数轴上点与坐标的对应关系。
简单地说就是初中里学到的平面直角坐标系和高中学的立体直角坐标系】
坐标系K又横轴X、纵轴Y和竖轴Z,我们用横坐标x、纵坐标y和竖坐标z来确定坐标系K
同样,另一个坐标系K`也是这样。
为了简化问题,我们把这个三维的坐标系化成一维的
即只有横坐标x和时间t。
我们假定坐标系K相对坐标系K`是静止的,而坐标系K`相对坐标系K做匀速直线运动,
坐标系K`也是由横坐标x`和时间t`来确定的。
我已经知道x和t的值,现在要求x`与t`的值
我们只考虑X轴,而且假定K`坐标系的X`轴是与K的X轴完全重合。
假设在这个一维的空间中的某处有一个手电筒,手电筒发出一束光,这束光与X轴重合
且沿着X轴传播。
那么,根据光速不变原理,这束光相对于坐标系K是以光速运动的,而K`相对于坐标系K是做
匀速运动的,再根据狭义相对性原理,坐标系K`中观察到的光速也是以光速c传播。
假设光沿着X轴的正方向传播,而K`相对于K也沿着这一方向运动,
则我们可以得出公式
X =ct。
稍微变形就是
X-ct=0
根据光速不变原理,坐标系K`得出的结论也是
X`-ct`=0.
那么我们可以看出,这两个坐标系得出的结论中有某种变换关系,就像伽利略变换一样。
列举出来,就是
(X`-Ct`)=γ(X-Ct)
其实有的人一眼就能看出来,γ指洛伦兹因子,但是我们现在还不知道,暂且认为γ是一个常数。
再来看看如果光沿着X轴负方向运动,而K`相对K沿正方向运动,则得出结论
(X`+Ct`)=π(X+Ct)
这里π也是一个常数,当然不要误会,这不是圆周率。
我们把这两个式子(X`-Ct`)=γ(X-Ct)和(X`+Ct`)=π(X+Ct)
相加和相减,得到一个一次方程组。其中有两个未知数x和t,所以这是一个二元一次方程组。
X`=X(γ+π)/2 -Ct(γ-π) /2
X`=Ct(γ+π)/2 -X(γ-π) /2
我们把(γ+π)/2和(γ-π)/2分别记住a和b
那么得到:
X`=ax-bct
X`=act-bx
假设x`=0,则
x=bct/a
把x换成速度v
得到
v=bc/a
我们可以得出结论,v是坐标系K和K`相对运动的速度。
再假设t=0,又X`=ax-bct
则X`=ax
那么
△x=1/a
这是我们所得到的瞬时位移。
再把v=bc/a代入到这个结论里,得到
X`-a(1-v²/c²)X
又△x=1,这我们得到是瞬时位移应该是
△X`-a(1-v²/c²)
又△x=1/a和△X`-a(1-v²/c²)相等,
得到
a=1/(1-v²/c²)
所以我们得到了a的值,即(γ+π)/2的值,
同样的方法可以得到b的值,我们把得到的a和b的值代入方程组
X`=ax-bct
X`=act-bx
得到一个方程组:
这就是洛伦兹变换,
反过来:
用矩阵表示是
其中