纯 粹 数 学
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年,主要可分为以下六个方向。
1.集合论与数学基础
本世纪初,为了克服悖论给G.康托尔(Cantor)集合论带来的困难,并系统整理康托尔的理论与方法,人们开始致力于公理化方法的研究.1908年,出现了两个著名的公理系统:E.策梅罗(Zermelo)的系统[后由A.弗伦克尔(Fraenkel)和A.斯科朗(Skolem)修改补充,成为ZF公理系统]和B.罗素(Russell)的类型论.
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣.1923年还在苏黎世就读期间,他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen),力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”.在康托尔的定义中,序数是良序集的序型,而根据ZF公理系统,序型的存在性是无法证明的.冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理,给出了序数及超限序数形式化的新定义,这种定义一直沿用至今.
此后六七年中,他积极传播公理化的思想,并试图建立更具形式化和精确性的公理系统.1923年,他向德国《数学杂志》(Ma-thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre),施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔.经过与弗伦克尔详尽地探讨,冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre),于1925年发表.
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文.它所建立的公理体系经P.贝尔纳斯(Bernays)和K.哥德尔(Gdel)完善之后,形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统.
NBG系统不像ZF系统那样,把集合与从属关系作为原始概念,并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的,也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系.它的特点是在“集合”与“属于”之外,引入了“类”作为不定义概念,比集合的概念更具概括性.类分为集合和真类,规定真类不能作为类的元素.这样,就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性.
与ZF公理系统相比,NBG系统保留了更多、更有用的论证方法.而且在ZF系统中,包含着由无穷多条公理组成的公理模式,NBG系统则不含公理模式,是一有穷公理系统,有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构,这是它最主要的优点.
现已证明,NBG系统是ZF系统的扩充.哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时,就受到了NBG系统的启发.到今天,NBG系统仍是集合论最好的基础之一.
与集合论公理化的工作相适应,冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划.1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释.它指出,希尔伯特元数学计划所提出的各种问题,虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W.阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展,但从总体上而言仍未得到令人满意的解决.尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明,不能在古典分析中实现.
1931年,哥德尔不完全性定理提出之后,希尔伯特计划的完全实现落空了.对此,冯·诺伊曼并未感到过分惊奇,因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中,他便隐约地预见到哥德尔的结论:任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题.原文的最后一句话是:“暂时,除了陈述集合论本身的缺陷外,我们还能做什么呢?没有一种已知的方法可以避免其中的困难.”他认为,“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径,去理解数学形式主义的作用,而不应把它当作问题的结束.”他本人对数学基础保持着长久的兴趣,并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现.
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年,主要可分为以下六个方向。
1.集合论与数学基础
本世纪初,为了克服悖论给G.康托尔(Cantor)集合论带来的困难,并系统整理康托尔的理论与方法,人们开始致力于公理化方法的研究.1908年,出现了两个著名的公理系统:E.策梅罗(Zermelo)的系统[后由A.弗伦克尔(Fraenkel)和A.斯科朗(Skolem)修改补充,成为ZF公理系统]和B.罗素(Russell)的类型论.
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣.1923年还在苏黎世就读期间,他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen),力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”.在康托尔的定义中,序数是良序集的序型,而根据ZF公理系统,序型的存在性是无法证明的.冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理,给出了序数及超限序数形式化的新定义,这种定义一直沿用至今.
此后六七年中,他积极传播公理化的思想,并试图建立更具形式化和精确性的公理系统.1923年,他向德国《数学杂志》(Ma-thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre),施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔.经过与弗伦克尔详尽地探讨,冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre),于1925年发表.
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文.它所建立的公理体系经P.贝尔纳斯(Bernays)和K.哥德尔(Gdel)完善之后,形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统.
NBG系统不像ZF系统那样,把集合与从属关系作为原始概念,并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的,也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系.它的特点是在“集合”与“属于”之外,引入了“类”作为不定义概念,比集合的概念更具概括性.类分为集合和真类,规定真类不能作为类的元素.这样,就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性.
与ZF公理系统相比,NBG系统保留了更多、更有用的论证方法.而且在ZF系统中,包含着由无穷多条公理组成的公理模式,NBG系统则不含公理模式,是一有穷公理系统,有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构,这是它最主要的优点.
现已证明,NBG系统是ZF系统的扩充.哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时,就受到了NBG系统的启发.到今天,NBG系统仍是集合论最好的基础之一.
与集合论公理化的工作相适应,冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划.1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释.它指出,希尔伯特元数学计划所提出的各种问题,虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W.阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展,但从总体上而言仍未得到令人满意的解决.尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明,不能在古典分析中实现.
1931年,哥德尔不完全性定理提出之后,希尔伯特计划的完全实现落空了.对此,冯·诺伊曼并未感到过分惊奇,因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中,他便隐约地预见到哥德尔的结论:任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题.原文的最后一句话是:“暂时,除了陈述集合论本身的缺陷外,我们还能做什么呢?没有一种已知的方法可以避免其中的困难.”他认为,“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径,去理解数学形式主义的作用,而不应把它当作问题的结束.”他本人对数学基础保持着长久的兴趣,并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现.