g(x)=f(x)e^x
g'(a)g'(b)>0 所以 g 在 (a,b) 必定变号，也就有 g(c)=0
所以有
(a,c)之间g'(m)=0，(c,b)之间g'(n)=0，(m,n)之间g''(L)=0
别的应该也差不多

实际上这样的构造具有通法，将等式写成p(D)f=0，其中p是多项式。
设p的每个根的相反数是r1...rn，记
s1=r1, s(k)=-s(k-1)+r(k)
那么构造一系列函数
f1(x)=f(x)e^(p1x)
f2(x)=f1'(x)e^(p2x)
...
对每个新函数用Rolle定理即可。
例如第三题的构造就是g(x)=f(x)e^(-x)，h(x)=g'(x)e^x。
由于f要变号，所以g(c)=f(c)e^(-c)=0，对[a,c]和[c,b]用Rolle知道g'(p)=0, g'(q)=0，这说明h(p)=h(q)=0，从而h'(r)=0，计算一下h'(x)=f''(x)-f'(x)。
对于第四个，则是g(x)=f(x)e^x，h(x)=g'(x)e^(-2x)。
此方法似乎在具有虚数根的时候失效。
----From Nokia Lumia 928I

补充: 上述构造法里面如果有虚数解有时也是可行的，我们以同样的条件为例，证明f''(r)+f(r)=0对某个r成立。
首先我们得假设0<a<b<pi/2，否则下面会出问题。
作g(x)=f(x)/sinx，之前令0<a<b<pi/2是为了让，首先还是g有a<c<b三个零点。
h(x)=g'(x)sin²x=f'(x)sinx-f(x)cosx
就有两个零点，p，q。
h'(x)=(f''(x)+f(x))sinx有一个零点，通过我们对a、b的假设可以消去sinx。
----From Nokia Lumia 928I

更一般地，上述构造告诉我们我们可以通过求解微分方程来寻找中值定理需要的辅助函数。
----From Nokia Lumia 928

马克，做笔记中，学习了

估计得构造函数，一般乘上指数或对数函数考察各阶导数，并且用介值定理