帖子貌似要沉了。我这里补充几句解释一下几个概念。
先说等价关系，等价关系就是集上定义的具有自反性，对称性，传递性这三中性质的集的一个分类（或者说剖分）。举个例子比如今天去班里上课的学生，他们可能各有不同，但你总能找到一个关系把他们分类。把他们按衣服颜色分类，蓝色的一类，红色的一类等等。很明显衣服的a同学与自身衣服颜色相同，具有自反性。同学b和同学c颜色相同，则同学c与同学b颜色相同，具有对称性。a与b颜色相同，b与c相同，则a与c相同，具有传递性。再定义一个关系如血缘关系，很明显这不是一个等价关系，比如你和你的父母有共同祖先，但这个关系不能由你传递给你的父母，你的父母本来祖先就不同。等价关系将**分成了两两不相交的**，按等价关系两**要么相等要么不相交，这些**的并等于原**。商集和就是某个等价关系的全体，可以选取等价类的代表元素来表示他，当然附加某些结构，就成为商环，商群，商空间等等。

这个p点开领域的光滑函数的全体无法构成线性空间，因为f（p）＝g（p）＝0的函数无限多，不唯一，不满足构成线性空间的条件，所以按上面的等价关系形成的商空间函数牙就是选取了值为0的等价类中的一个函数作为唯一的零元。
Hp是Fp的字空间，Fp中元素v1－v2如果属于Hp，就令v1＝v2，这是也是一个等价关系，确定了Fp的一个分类。这个关系下商空间Fp/HP仍是线性空间。

这里的一个写在两个函数中间的类似句号的符号，是函数复合符号满足结合律和分配律，但不满**换律。f。g（）意思就是f（g（t）），f。g＝f。h。h^（－1）。g，如果h。h^（－1）是连续函数。

定理2.2系1性质3 的证明，设g和G，这样按套路算可以得到，不要直接微分，现在没告诉你df是微分。

式2.19用到了正交曲线坐标系

当给出y的一个等价关系y～y'时，Γp由此也形成了一个线性空间，这时〈，〉很明显就是一个内积。后面的共轭变换和量子力学算符的共轭转置是一样的，这里是线性空间间的线性变换。