在中学课程中，你肯定被告知过矢量一定要有大小和方向。但是反过来，有大小和方向就一定是矢量吗？这个先把结论告诉你：不一定。而要回答为什么，就牵涉到马上要说的协变性了。
在这里我们要又一次提到说了好几遍的规范与规范对称——那里面说，标杆的确立不能影响物理过程本身。这要求张量必须要有一个性质，那就是协变性。一个矢量，除了大小方向等属性之外，还需要具有坐标协变性，才能真正成为物理上的一阶张量（当然作为矢量还要满足某些数学上要求成立的运算法则，但那些与我们要讨论的事无关）。怎么叫做“坐标协变”？一言以蔽之，张量的坐标协变，就是协同坐标进行表观上的变化，以保证自己实际上是不变的。这是什么意思呢？有这么个例子可以让你很容易的理解：你在你的老师面前的身份是学生，在你父母面前的身份则是子女，当你面前的人发生改变的时候，你对于这个人的身份也要按一定的规则发生变更，这才能保证你这个人是不变的。否则，你的老师的子女不是你，你父母的学生当然也不是你（除非特殊情况，父母和老师是同样的人，但那就不是发生变更的情况了）。这种事其实是常见得不能再常见的，一个事物要保持自身不变，它必须随着被观察的视角按一定的规则显现出不同的形态，这就是协变性，一个盘子，正面看是圆的，斜过来看就要变成椭圆形甚至扁形，如果还是圆的，那反而不对了，也就是说盘子要保持自身不变，就必须对不同角度的观察者显现出不同形状来，这种具体表现随着视角发生变化实际上本尊却保持不变的性质，就是协变性。
既然物理过程是不能被标杆影响的，所以这也就是必然的了。所谓的张量要具有协变性，那就是它的各个分量要随着坐标的选取（也就是前文中说后面要谈及的x,t）发生变化，以保证物理存在不变。比如在二维平面内，用直角坐标系描述平面上的一个矢量，设这个矢量是向东的，那么，如果你把向东设成x轴正方向，那么矢量的x分量就不是零而y分量是零，但如果改把向北设成x轴正方向，那就反过来了。——然而，变的是具体的坐标分量而不是物理矢量本身。关于高阶张量，也是同样的道理。
当然协变的具体表现与客体本身的性质也有关，有时也有保持不变的情况，那就是之前所讲过的对称性了。一个数学上的实例就是标量（零阶张量），这种东西没有分量可言，无论怎么变换坐标都是那么一个值放在那里。再例如应力张量，如果将坐标系整个儿反过来，你会发现应力张量的具体形式保持不变，这是二阶张量在某些特定变换下保持不变的一个例子——但你应该明白的是，这两个例子都也属于协变，只不过是一种“不变之变”。在这里值得说明白的一点就是，数学和物理中有很多互相“等价”的逻辑，所以你要学会头脑灵活一些，对于一个不变的表现，其实既可以理解成就是不变，也可以理解成一种“不变之变”，你要学会在不同情况下选用合适的理解方式。

下面是一个和协变性很类似的概念：协变基。乍一看这玩意好像照葫芦画瓢就能理解，但请注意！它与上面说的东西有根本上的不同。首先，它不是什么物理存在，也就连张量都不是了，它是与你选取的坐标系挂钩的东西。你在初中就学过，建立坐标系的步骤是什么呢？首先，把几个特定方向定义成坐标轴的方向，画出坐标轴，其次，在轴上作出标度，规定一个单位长是多长，这样坐标系就建立起来了，继而空间中的每一个点就都各自有一组唯一的数与之对应，而且这组数也只是这个点专用的，这称之为点的坐标，是吧？
这个过程，就是确定协变基的过程。在建立坐标系的过程中，你既要确定坐标轴的方向，又要确定单位坐标长，这个长度和方向结合起来是什么呢？你马上会想到一个矢量（当然要注意，这是数学上的矢量，或者你在数学课上习惯性的称呼叫做向量，而不能称之为物理上的矢量或一阶张量），每一个坐标轴上都有这么一个向量，这就是协变基。从这个定义中我们可以清楚的看到“协变”二字的由来：协变基是依附坐标系的建立的，当坐标系发生变化时，它要协同这种变化而变化，所以谓之“协变”，值得指出的是这种变化有两种，一种是坐标轴改变方向，基的方向自然要跟着变，另一种是单位长度变长或变短，此时变化的则是基的大小，一定要注意，后一种变化也是坐标系的变化，切不可认为只要方向没变坐标系就不变！
有了协变基，下一个我们要引入的是逆变的概念。逆变这个词也可以先从字面建立一个最初的认识：逆变，就是反着变，这就好像玩老鹰捉小鸡的时候，小鸡们必须根据老鹰的走向往相反的方向躲避，以免被捉到。老鹰向右扑，小鸡就要向左躲，老鹰向左扑，小鸡就要向右躲。那么数学上的逆变是怎么回事呢？依然先举个形象的比喻。设有一盒象棋，总共是32枚棋子，现在你要数一下棋子有没有丢，那么怎么数呢？有一种最简单的方法当然是一个个数，数到32个那就是没丢，但是有些人会习惯于用另一种数法：按“对”来数，一对，两对，三对……数到16个整对就是没丢。如果把这两种数法作一下对比，那么“个”和“对”相当于两种协变基——这个怎么理解？上面讲过，“基”是你设定的单位，单位协同着计数方法而变化，从一种数法的以“个”为单位，变成了另一种数法的以“对”为单位，这也可以称之为一种协变。然后呢，这两种数法，一种数出来的是32个，另一种数出来的是16对，32和16就成所谓的“逆变”关系。把“个”这个单位扩大成两倍变成“对”，那么数值就要从32缩小成一半变成16——反过来了，这就是逆变。
实际上，这个例子也同时告诉了你协变与逆变之间的关系。中学物理课最初的几节课就告诉过你，一个物理量必须由数值和单位两者组成，这样导致了一个结果就是，如果量度单位发生了某个变化，那么数值就必须作一个相应的反变，以保持物理量本身不变——这是协变性的要求，是吧？需要注意的是这个单位不仅可以体现在大小上，也可以体现在方向上（也就是基的方向随着坐标轴发生改变）。与物理量同样的道理，一个物理矢量实际上不是仅仅由分量组成的，而是要由分量乘上各自所对应的基，然后加起来才能得到这个矢量，只是多数时候对基有默认，所以省略了而已。基是随着坐标系协变的，那么分量就要是逆变的，这才能保证矢量作为一阶张量，在物理上不能依赖坐标系的选取，在坐标系发生变化时它在物理上要保持不变，就像刚才象棋的例子中，“32”“个”=“16”“对”一样。我们平常把矢量写成(x,y,z)的形式，里面的数都是“逆变分量”，所以有时我们会把这个形式称作一个“逆变矢量”，但要注意，与刚才不同，我们现在说的是一个物理矢量（一阶张量）而不是依赖坐标系确定的“基”，所以这个意思是这个表示形式逆变，而不是矢量本身在物理上逆变！如果你以后阅读高级教材，你一定要注意形式和实质之间的区别。另外，高阶张量也是同样的道理。
还有很重要的一点是，因为物理存在本身不会去管你的坐标系是怎么设立的，它只是要求基和数值要乘起来，再把各部分加起来而已。所以有一个很有趣的逆向思维：你可以反过来把分量当成基，而把基则当成分量——这样就又确立了一对与之前两个概念正好相对的概念：“逆变基”与“协变分量”。当坐标系发生变化的时候，逆变基是反着变的，而协变分量则是顺着变的。物理矢量既可以用“逆变分量×协变基”得到，也可以用“协变分量×逆变基”得到，两者对应的是相同的对象，所以数学上也有相应的一套操作化协为逆或化逆为协，但本科普中不拟对这个进行讲述，如果你对晦涩的数学不感兴趣，那么你只需要记住我们平常用的都是前一形式，如此即可。

至此七讲，我们将讲到的概念重提及一遍：
作用量 action
最小作用量原理/哈密顿原理 least action principle/Hamilton's principle
拉格朗日函数（密度） Lagrangian(density)
群 group
对称 symmetry
守恒 conservation
Noether定理 Noether's theorem
规范 gauge
场论 field theory
张量 tensor
流形 manifold
协/逆变 covariant/countervariant
这些概念都是理论物理中最常用、最基本的概念。如果你读明白了，再结合你已有的中学数学和物理知识，那么那些比较高级的科普，以及一些低偏向的理论物理专业教材，你读的时候大概就至少能知道书上说的是啥了，并且可以告诉你一件事：你的水平与笔者实际上已经相差无几。当然，如果你想深入考究的话，那起码理工科的本科生在大一时要学的微积分和线性代数你要学习，数学物理方法和物理系的普通物理那一套你要学习。什么事情都没有捷径，你值得明白的是，包括这个科普系列给你的也只能是引导而不是推进。笔者最希望的还是，通过这些概念，读者能够明白数学概念和数学方法在物理学中的重要性，通过这些概念，读者能够树立起一种正确的对待物理学的态度，以后对待物理科普就不会像看小说一样，抱着一些童话故事式的论述胡思乱想。除此之外，如果本科普能够点燃哪怕一个读者趟着数学这潭深水涉足真正的物理学殿堂的勇气，那笔者更是深感荣幸。

楼主的意思是结束了?好吧顶一下，支持给精



讲的清楚明白

最好举一个数学上的实例。

全部看完了~
这学期从大物跳到量子场论，步子太大扯到蛋了~~太多的概念听都没听过，LZ的科普文对我帮助很大，让我知道了不少概念，也知道了要去补哪方面的基础。
PS，吐槽，果然搞物理多是宅么~

挺好的，微娘要不要出版一般小册子呢~

爪机码

高手，呱唧呱唧

支持卤煮

真心不错，受益受益！感激！