微分几何研究微分流形的几何性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。 目录 [隐藏]
1 内在对外在
2 技术要求
3 分支
4 外部链接
5 参考书目
[编辑] 内在对外在从一开始到19世纪中叶,微分几何是从外在观点来进行研究的:曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的(譬如曲面被放在三维的背景空间中)。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作,在那里因为几何对象被认为是独立的给出的,所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活,例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点,曲率和联络这样的结构比较难定义一些,所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的,即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。(见纳什嵌入定理) [编辑] 技术要求微分几何的工具也就是流形上的微积分:包括对于流形,切丛,余切丛,微分形式,外微分,p-形式在p维子流形上的积分以及斯托克斯定理,楔积,和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关;但对于几何上的应用来讲,必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数:曲率的很多表现方式。可微流形是一个拓扑空间,它有一个开覆盖,其中的每个开集同胚于Rn中的一个开单位球。并且,如果f,g是其中两个同胚映射,则函数
无限可微。我们称一个函数无限可微,如果它和每个同胚的复合是从开球到R的无限可微函数。在流形的每一点,有一个该点的切空间,它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形,每点的切空间是一个n维向量空间,或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间,除以 所有取值为0 并且一阶导数为0的函数空间(所得到的余空间)。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”,因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集(切丛)的函数,在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。 向量场可微,如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解,如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数,则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。