应该使用积分
假设老鼠速度为V
猫为于位置A，其圆心对称点为A’
老鼠从圆心向A’移动时间T后
老鼠移动到位置P，猫移动到位置B，其圆心对称点为B’
记距离A’B’<50π
如果A’B’/10<(TB'-TA')/V,那老鼠继续向A’移动
如果A’B’/10>(TB'-TA')/V,那老鼠向B’移动
然后求出V的最值使老鼠到达圆周某点X时猫也正好到达点X即可

但积分不会...........

　
解法一：
　
　　设老鼠的游泳速度为ｘ（m/s）；老鼠从圆心处开始沿着背向猫的一条半径往岸边游。老鼠需要游过的路程是50米，所花的时间是50/x；猫需要跑过的路程是50π米，所花的时间是50π/10；列不等式：
　
　　　　50/x＜50π/10　，
　
　　解不等式，得：ｘ＞10/π＝3.18（m/s）。
　　老鼠游泳速度至少要快于3.18（m/s），才能安全逃上岸。
　
　　这肯定不是最好的答案。老鼠的游泳速度还可以比3.18（m/s）更小。

我以前想的一个方法，老鼠到圆心后，以适当的半径r绕着圆心做圆周运动，可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r（这个过长不一定要做圆周运动，只要绕着圆心就行）
x：10=r:50
(50-r)/x=50π/10

x=10/(π+1)

老鼠和猫的距离是50+r的时候，感觉如果不沿着(50-r)走，应该可以使速度更小，不过这条线路不是直线，不知道怎么算，或许应该用微积分

解法一附图�

这个问题微积分也不知道从哪入手啊，老鼠速度是V的话，在距离圆心5V之前的运动过程是不用考虑的，但之后的运动过程怎么去分析呢？瞬时速度由什么决定？

我只知道这段曲线一端与(50-r)相切，另一端与上岸那个点的半径相切，如果是曲线的话

4楼的解法是第二方案。特补充作图加以说明：
　
解法二：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r（当然，不一定要做整个圆周运动，只要绕着圆心就行）。列方程：
　
　　　　　rπ/x=50π/10 .
　
　　然后，老鼠从Ｃ点径直往岸边的Ａ点游，力争先于猫到达Ａ点．列不等式：
　
　　　　　(50-r)/x＜50π/10 

　　联立二式解得：x＜10/(π+1)≈2.4145（m/s）
 
 还有比这更小速度的方案.
附图:

8楼：
 ……
　　联立二式解得：x＜10/(π+1)≈2.4145（m/s） 
 ……
---------------------------------
应该是>

对于第二个方案的错误
假设猫所在的点A到圆心的半径交小圆与点A'
那么假设在小圆处依然有只小猫,它所在的位置一直在A'点(由于A点在不断运动,则点A'也在不断运动)
小圆半径为r,那对应的小猫的速度为r*10/50=r/5
那么原题变为
有一个圆形的湖，半径r米,猫速度为r/5,现在老鼠要以速度V移动,并使其上岸时所在的位置与猫所在的位置的连线过圆心

比较下两题,明显原题简单

楼上，
我在4楼的解放不就是老鼠的速度x>r/5嘛，也就是说这个猫是追不上老鼠的，所以使其上岸时所在的位置与猫所在的位置的连线过圆心是很显然的
因此我也一直都知道我的这个方法不是最优解

11楼：解放=解法

对于最优解，我唯一的想法是轨迹和上岸时那个点所在的直径相切

我在10L的说明是仅仅为了证明第二种不是最优解

回答14楼：方案二肯定不是最优解。
　
解法三：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r.列方程： 
　 
　　　　　rπ/x=50π/10 . 
　 
　　然后，老鼠从Ｃ点不再是径直往岸边的Ａ点游，而是沿小圆的切线往岸边的Ｄ点游（当然要看猫跑的方向），力争先于猫到达Ｄ点。可知ＣＤ线段长为：√(R^2-r^2)；ＣＤ弧长为：arccos((√R^2-r^2)/R)。列不等式： 
　 
　　　　　(50^2-r^2)/x＜50(π+arccos(√(50^2-r^2)/50)/10. 

　　联立二式即可解得x的值。但是我不会解，因为它包含有反三角函数。有人用数值解法解出，老鼠的速度为ｘ＞2.1723m/s。

　　不用担心猫会转方向，因为猫和老鼠之间的距离在缩短，猫改变方向只会更有利于老鼠。

　　可以肯定，这个答案还不是最优的。
 
　　我在8楼的不等到号写反了，谢谢9楼朋友的指正！