权方和不等式的证明:
其证明需要用到赫尔德(Hölder)不等式.
赫尔德不等式的形式(特殊情形):
对于实数p和q,若p≥1,q<+∞,且1/p+1/q=1.
则对于所有实数或复数a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。
(这个不等式将在随后给予证明)
证明:
第一式:因为m(m+1)>0,所以m>0或m<-1.
设ai=xi/yi^[m/(m+1)] bi=yi^[m/(m+1)]
p=m+1 q=(m+1)/m
m>0时,p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0,恒有:
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^[1/(m+1)]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1)]}
不等式两边同时取(m+1)次幂,得到:
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}*
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式两边同除(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m,就得到
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
另设ai=yi/xi^[(m+1)/m],bi=xi^[(m+1)/m]
p=-m q=m/(m+1)
当m<-1时,p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0,恒有:
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1)/m]
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1/m).
不等式两边同时做m次幂,此时不等号方向改变:
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1)
不等式两边取倒数(不等号方向改变)再同乘(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1),即得:
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
第一式得证。
其证明需要用到赫尔德(Hölder)不等式.
赫尔德不等式的形式(特殊情形):
对于实数p和q,若p≥1,q<+∞,且1/p+1/q=1.
则对于所有实数或复数a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。
(这个不等式将在随后给予证明)
证明:
第一式:因为m(m+1)>0,所以m>0或m<-1.
设ai=xi/yi^[m/(m+1)] bi=yi^[m/(m+1)]
p=m+1 q=(m+1)/m
m>0时,p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0,恒有:
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^[1/(m+1)]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1)]}
不等式两边同时取(m+1)次幂,得到:
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}*
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式两边同除(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m,就得到
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
另设ai=yi/xi^[(m+1)/m],bi=xi^[(m+1)/m]
p=-m q=m/(m+1)
当m<-1时,p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0,恒有:
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1)/m]
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1/m).
不等式两边同时做m次幂,此时不等号方向改变:
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1)
不等式两边取倒数(不等号方向改变)再同乘(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1),即得:
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
第一式得证。