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张量分析基础入门笔记,第二部分

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IP属地:上海1楼2024-02-11 00:35回复
    【张量积】
    从这集开始,基础入门部分将不会再有新的类型的张量,现在从新的角度来探讨张量。
    其他张量只是向量和对偶向量组合在一起
    线性映射是向量对偶向量对
    将列向量和行向量相乘时,会得到一个标量

    如果调换一下顺序,就能得到一个矩阵,矩阵基本上是一个线性映射

    那么,如果我们知道一个矩阵,能不能反过来找到列向量和行向量

    在某些情况下是可以的,但并不是所有情况下都可以。所以有两类矩阵,纯矩阵和非纯矩阵。
    纯矩阵可以写成列向量分量与行向量分量的乘积,如下

    当纯矩阵运用于线性映射时,所有的输出向量都沿着同一个方向存在,自己验证把。纯矩阵应该是行列都线性相关的。非纯矩阵可以将基向量发送到不同的方向。
    我们可以使用列向量与行向量的积来构造纯矩阵,那么如果用列向量与行向量的积来构造非纯矩阵?
    定义4个特殊的向量对偶向量对

    我也不想自己写,图片被字幕挡住了。
    这里有4个矩阵,这4个矩阵可以线性组合表示成另一个矩阵,所以这4个乘积构成了所有矩阵的基础,这些矩阵是向量空间V到自身的线性映射,因此,任何一般的线性映射L都可以写成这种线性组合。然后还可以写成爱因斯坦求和符号表达式。

    {爱因斯坦求和约定——克罗内克符号}

    上式可以化简,δij是个对角矩阵。克罗内克符号不多做介绍了,百度百科有很详细的介绍
    例如下面

    下面解释为什么向量对偶向量对是线性映射

    如果将某个线性映射L视为基础矩阵的线性组合,向量v是基向量的线性组合,L作用于输入v。根据克罗内克符号的索引取消规则,可以取消索引k和s并替换为j。这里的向量对偶向量对确实是线性组合,它对输入向量进行了转换。
    之前就已经给出了一组4个基础矩阵,但之前那组基础矩阵并没有什么特别的,我们是可以选择另一组基础矩阵的,用下面这组基础矩阵,也可以得到任何想要的二阶矩阵。


    IP属地:上海2楼2024-02-11 00:37
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      【张量积】
      {对偶向量对偶向量对}
      在上一集中讲到线性映射可以用向量对偶向量对来表示,通过这种方法也能推导出线性映射变换的表达式,这是其中一个好处。

      上面的推导比较简单,应该不需要解释
      当有一个线性映射作用于一个向量时,也可以通过这种方法得到矩阵向量相乘的公式,这是另一个好处,这在上一集就已经展示过了。

      {克罗内克积}
      克罗内克积的符号是一个圆圈里面加上一个乘号,百度百科有克罗内克积的详细介绍,可以自行搜索,克罗内克积的乘法规则与线性代数中的5种乘法规则都不同。
      张量积也是使用这个符号,这一集要使用张量积,上一集也用到了,但是作者省略了张量积符号。
      张量积将两个张量合成一个新的张量,而克罗内克积将两个数组合成一个新的数组。张量积与克罗内克积是同一种运算,只是在不同的上下文中使用。
      我们也能用同样的思想来看待双线性形式,可以把双线性形式看作对偶向量对偶向量对的线性组合

      可为什么要选择对偶向量对偶向量对呢?为什么不是其他组合,例如:向量向量对。
      双线性形式需要两个输入向量,对偶向量可以接受一个输入向量,因此一对对偶向量可以接受两个输入。

      与上一集中一样,推导过程比较简单,因该不用解释。利用对偶向量对偶向量对,我们也能得到双线性形式的变换式。“!作者在他的图中省略了张量积符号,后面也是,注意一下!”
      接下来,当双线性形式作用于两个输入向量时,也可以得到正确的分量乘法公式,就是双线性形式最基本的那个表达式,在度量张量那集讲过,双线性形式函数接受两个向量并输出一个数。

      使用克罗内克积处理两个行向量相乘时,将左边的向量分配给右边向量的每个元素

      最终我们得到了一行“行”,这似乎有些不对劲

      回想一下双线性形式的矩阵乘法规则,左边乘上一个转置的行,右边乘上一列,这样才能使得矩阵乘法正确工作,但向量应该总是写成列才对,当我们将双线性形式写成一行“行”时,矩阵乘法公式就更有意义了,我们可以将两个输入向量都写成列。
      所以这就是张量积的作用,它可以将两个张量组合起来生成一个新的张量。


      IP属地:上海3楼2024-02-11 09:20
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        【张量积】
        {一般张量}

        假设有一个张量D,它是由一对向量组成的,所以它是一个(2,0)张量,什么是(2,0)张量?看它的向量部分的上下标就知道了;还有一个张量Q,他是由一个向量和两个对偶向量组成的,所以它是一个(1,2)张量。
        现在的问题是:它们之间的变换规则是什么?还有Q作用于D的乘法公式是什么?还有数组的形状是怎样的?

        变换规则很简单,只需要将张量写成线性组合即可,正变换被字幕挡住了。变换张量分量是比较简单的,只需要有基向量和对偶向量的变换规则就足够推出结果。乘法公式就没那么容易说清楚了。

        先来看线性映射应用于向量,把它们展开成线性组合,可以看到L中只有一个对偶向量,输入v中也只有一个向量,所以只可能有一种情况,εj必须作用于ek。在这个简单的例子中,只能得出一个可能的答案。但Q和D是更大的张量,Q(D)是什么?可以得到很多答案。原因是我们可以通过多种方式将输入向量放到对偶向量中去,下面例举4种可能的答案。

        第一种,对j和k求和,将前面的向量放到前面的对偶向量中,后面的向量放到后面的对偶向量中,然后得到两个克罗内克符号,两个克罗内克符号可以被简化,最后得到左边那个系数公式。
        第二种,对调了j和k,将后面的向量放到前面的对偶向量中,前面的向量放到后面的对偶向量中。
        第三种,只对k求和,将前面的向量放到后面的对偶向量中去,单独留下另一个向量。
        第四种,只对j求和,将后面的向量放到前面的对偶向量中去,单独留下另一个向量。
        总之,随着张量越来越大,我们可以得到越来越多的求和方法,所以这里Q(D)所表达的意思很模糊,它没有明确的告诉我们该怎么做,所以通常需要用爱因斯坦求和符号将表达式写出来,也就是上图左边那些式子。


        IP属地:上海4楼2024-02-14 08:01
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          【张量积】
          {一般张量}
          接下来要弄清楚的是数组形状
          张量D的数组形状

          这是两个列向量的克罗内克积,v和w只是随便取的,D是一列列,所以D是(2,0)张量。
          张量Q的数组形状


          Q是一行行列,所以Q是(1,2)张量,而这个张量有三部分,有人认为可以把这个张量可视化为一个3维数组,但这样做并不好,因为这样会丢失信息,无法知道Q是什么类型的张量。
          将张量写成数组也有好处,我们可以很轻松的使用标准乘法规则来计算张量,但对于较大的张量,如D和Q,具有高类型数,会有很多种可能的乘法规则,数组表示变得不太有用,高类型张量更适合用爱因斯坦求和符号来描述组件的乘法规则,出于这个原因,在许多资料中只写出张量分量而省略了基向量和对偶向量。



          有一点需要注意的是,张量分量来自于我们所选择的基,如果在不同的基上表示相同的张量,它会有不同的分量。

          {张量的最佳定义}
          张量只是使用张量积组合在一起的向量和对偶向量的集合。


          IP属地:上海5楼2024-02-14 08:07
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            【张量积与张量积空间】
            先讲了一些张量积的运算规则,没啥好解释的






            IP属地:上海6楼2024-02-24 08:21
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              {张量积空间}

              向量存在于向量空间中,对偶向量存在于对偶空间中,向量和对偶向量的组合存在于V⊗V*中,现在我们又看到了张量积另一种用法,组合向量空间。
              ⊗符号的三种用法

              那么V⊗V*中的元素是什么?

              V⊗V*中的元素基本上是向量对偶向量对及其线性组合。
              第一个式子,求和式中有一对哑标和一个自由指标,我们会得到向量分量作为输出(实际上应该是一组分量但不求和),L充当V到V的映射
              第二个式子,求和式中有一对哑标和一个自由指标,我们会得到对偶向量分量作为输出,L充当V*到V*的映射
              第三个式子,求和式中有两对哑标,我们会得到一个标量作为输出,L充当V×V*到R的映射
              第四个式子,求和式中有两对哑标,我们会得到一个标量作为输出,L充当V*×V到R的映射
              上面4个张量都可以是V⊗V*中的元素,因为这些张量的系数矩阵的指标与张量所属的V⊗V*对应,张量的右边则是输入空间与输出空间。
              如果我们使用张量积将两个对偶向量组合在一起会怎样

              当我们有对偶向量对偶向量对时,它们都存在于V*⊗V*中,V*⊗V*的元素是(0,2)张量,它们是对偶向量对偶向量对及其线性组合

              第一个式子,求和式有两对哑标,我们会得到一个标量,这是一个双线性形式
              第二个式子,求和式有一对哑标一个自由指标,我们会得到对偶向量分量
              第三个式子,求和式有一对哑标一个自由指标,我们会得到对偶向量分量
              上面3个张量都可以是V*⊗V*中的元素
              所有这些向量空间的基本模块是两个向量空间V和V*,它们包含张量及其分量

              我们可以使用张量积将这两个向量空间组合成新的向量空间,这些向量空间包含对应的系数矩阵,这些系数矩阵的指标也与它们所属的向量空间对应。我们可以继续使用张量积来制作更大的向量空间,所有这些向量空间都包含张量,其分量具有不同的上下标组合,具体取决于向量空间是由多少V和V*构造的。
              所以我们只需要看看向量空间就可以轻松获得正确的分量的指标
              张量T可以怎样组合?


              可以有很多组合,只要上下标能够匹配
              可以对整个表达式进行4次求和,输出一个标量
              也可以是3次求和,输出一个分量
              也可以是2次求和,输出一个张量;在一个求和式中,自由指标一个只允许出现一次,但可以有多个自由指标
              那么这些张量有什么共同点吗?我们来看下面这个函数

              它有4个输入,选择一个可变的输入并使其他输入固定,如果缩放输入w,可以将缩放系数带出,同样的也可以将相加带出,同样的规则也适用于其他张量,所以所有这些映射都是线性的,我们称以这种方式运行的函数为多线性映射。
              多线性映射是一个函数,它遵守下面这两个规则

              多线性函数对每个输入而言都是线性的


              IP属地:上海7楼2024-02-24 08:23
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                【升降指标】
                有没有什么方法可以在向量和对偶向量之间建立对应关系?有没有方法可以在V中获取一个向量,在V*中找到它的伙伴?
                建立对应关系的一种方法是将V中的基向量与V*中的对偶基配对,可以为所有基向量分配对偶基伙伴,它们的分量相同。


                如果想找到任意向量的对偶向量伙伴,可以先将其扩展为基向量的线性组合,然后将基向量转变为对偶基,这个由对偶基线性表示的对偶向量是向量的伙伴。

                看起来似乎还不错,但实际上这种方法存在问题。

                把所有基向量乘以2,实际上就是对基向量使用了正变换,以新基向量表示的向量都增大了1倍。对基向量使用逆变换,就是把所有基向量乘以1/2。基向量是协变的。

                旧基变换到新基时使用正变换,但对偶基是逆变的,从旧对偶基变换到新对偶基时使用逆变换,因此,如果要获得新对偶基,会将所有对偶基乘以1/2,所以这种分配对偶向量伙伴的方法是行不通的,基向量的变化会使得对偶基朝相反的方向变化。

                我们需要尽量避免使用基向量

                我们可以假设向量v的伙伴是“向量v点乘某个东西”,“向量v点乘某个东西”真的可以是对偶向量吗?

                可以认为“向量v点乘某个东西”这个整体是一个接收向量并产生一个数的函数,但对偶向量不能只是一个函数,它们还必须是线性的,可以利用点积的性质来证明这个函数是线性的,所以“向量v点乘某个东西”确实是对偶向量。

                使用“向量v点乘某个东西”和正常的对偶向量一样。这个新的对应关系不依赖基,因此当我们改变基时,不会遇到任何问题,向量和对偶向量将以相同的量进行缩放。
                如果“向量v点乘某个东西”真的存在于V*中,如果它真的是对偶向量,我们应该用对偶基来构建它。

                “向量v点乘某个东西”(对偶向量)的分量是什么?可以用系数“x”将它构建为对偶基的线性组合,回想一下度量张量,点积的结果也可以由度量张量给出。


                IP属地:上海10楼2024-03-25 20:55
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                  【升降指标】

                  可以将度量张量和两个向量展开为线性组合,可以将向量放到对偶向量中去,输入的顺序是无关紧要的,因为度量张量是关于主对角线对称的,无论哪种方式都会得到相同的结果。
                  为了获得“向量v点乘某个东西”(对偶向量)的分量,我们将再次做同样的事。

                  将单个向量放到度量张量中去,度量张量的第二个输入是空的,可以将向量传递给一个对偶向量,哪个都可以,度量张量是对称的。根据上面的推导,我们知道了gijvjεi就是“向量v点乘某些东西”,gijvj就是“向量v点乘某个东西”的分量,就是对偶向量的分量。

                  我们知道了如何获取对偶向量“向量v点乘某个东西”的分量,对偶向量是协变的,对偶向量分量的指标是下标,所以我们可以用另一种表示法,用vi代替gijvj,vi的i是下标,这种表示法就好像度量张量的分量正在降低向量v分量的指标,在新基下也可以用这种表示法。
                  可以总结成下图这样。

                  升降v的指标的方式就是对度量张量的分量进行求和,求和后的结果就是一组以i为下标的向量分量。

                  需要特别注意的一点是,vi下标与vi上标是不同的,它们不相等,想在它们之间切换,必须使用度量张量的分量,对度量张量的分量进行求和。而上面这个等式唯一成立的情况是,度量张量的分量可以由克罗内克函数给出,这说明当前的坐标系是正交的。
                  现在我们找到了一种使向量变化到对偶向量的方法,通过这种方法可以给向量v和对偶向量配对。

                  我们通常将度量张量视为接收一对向量输出一个标量的函数,也可以将其视为接收一个向量输出一个对偶向量的函数。我们知道了度量张量可以降低向量的指标。
                  那反过来会是什么样的?如何从对偶向量找到它的伙伴?下面要介绍的是逆度量张量。

                  逆度量张量存在于V⊗V,因为它有两个上标,使度量张量和逆度量张量相乘时会得到克罗内克函数,也就是得到一个单位矩阵,所以逆度量张量是度量张量的逆矩阵。在vi下标前面乘上一个逆度量张量,就能升高向量分量的指标。
                  有时我们称度量张量为协变度量张量,因为度量张量的分量是协变的,称逆度量张量为逆变度量张量。
                  这些升高和降低操作不仅适用于向量分量和对偶向量分量,也可以用于其他张量分量的指标。

                  可以在任何张量分量指标上进行指标的升降。如下所示,用度量张量来降低指标,用逆度量张量来升高指标。

                  {向量和对偶向量之间转换的另一种表示法}

                  我们知道这个对偶向量“向量v点乘某个东西”等于只接收一个输入的度量张量,也可以将其写成v-flat,这是这个对偶向量的另一种表示法,vi上标是向量v的分量,vi下标是对偶向量v-flat的分量,所以符号flat降低了指标。另外,flat将一个矢量图形转变为一个对偶矢量的一系列线段的图形。
                  另一方面,如果我们有一个向量“对偶向量α点乘某个东西”,它与只接收一个输入的逆度量张量是相同的,可以用#α来表示,αi下标是对偶向量的分量,αi上标是向量#α的分量,所以符号#升高了指标。#将一个对偶矢量的一系列线段的图形转变为一个矢量图形。


                  IP属地:上海11楼2024-03-25 20:58
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