太阳底下晒帽子的干燥时间取决于很多因素，如温度、湿度和太阳的强度等。一般来说，如果是在清晨或傍晚这样阳光不太强烈的时候，帽子可能会在几个小时内晒干。但如果是在中午或下午阳光最强烈的时候，帽子可能只需要几十分钟就能晒干。总之，具体的晾晒时间还是要根据实际情况而定。