如果用均值不等式还是能做的
并且初三可以证

数形结合，半圆y=√(1-x²)和直线y=-x+b有交点，求b的最大值，于是√(1-x²)+x-1的最大值是b的最大值减1。

由(a-b)²≥0→a²+b²≥2ab
→(a+b)²≤2(a²+b²) (当且仅当a=b时取等)
√(1-x²)+x-1≤√(1-x²)+√(x²)-1
≤√[2(1-x²+x²)]-1=√2-1
当且仅当1-x²=x²且x≥0即x=√2/2时取等
∴原式最大值为√2-1

挺简单的吧，画个圆，直径为1，上面动点连直径两端，就是求这两条线段长度和最大值，自然取中点

几何法

不推荐

设y=√（1-x^2）+x(y取最大值时x必然≥0)，两边平方，t(1-t)（t大于等于0）≤1/4

勾股定理+定弦定角，有个啥难度。

描点画图

我现在已经成了只会做微分和积分的废物了

嗯，我方法有点复杂了，但应该是对的

柯西也能做吧

这不是初二的题吗？还是初二上学期的，学过勾股定理和二次根式就行