先发最基本的定义

这个符号最高达到BHO。
先考虑ψ(0)，由于小于ε_0的序数都可以用Cantor normal form表示，所以在使用加法，乘法和乘方下第一个不能表示的序数是ε_0。所以ψ(0)=ε_0

再考虑ψ(1)，由于ψ(0)在C里，因此可以用它进行运算。ψ(1)=ε_1，而且可以推出α<ζ_0时有ψ(α)=ε_α。

我们发现ψ(ζ_0)=ζ_0，因为使用加法，乘法和乘方和ε_α无法达到ζ_0，所以C里没有ζ_0。再考虑ψ(ζ_0+1)，这时C里依然没有ζ_0，所以ψ(ζ_0+1)=ζ_0。这一现象持续到Ω。

ψ(Ω)=ζ_0，而ψ(Ω+1)由于C里有Ω（一开始就有），可以对Ω进行ψ运算，所以ψ(Ω+1)=ε_(ζ_0+1)。

下面是一些常见序数：
ψ(Ω^2)=η_0
ψ(Ω^ω)=φ(ω,0)
ψ(Ω^Ω)=Γ_0
ψ(Ω^Ω^2)=φ(1,0,0,0)
ψ(Ω^Ω^ω)=SVO
ψ(Ω^Ω^Ω)=LVO
ψ(ε_(Ω+1))=BHO
由于ε_(Ω+1)是C的上界，任何运算都无法达到这个序数。它不会出现在C里，因此ψ(ε_(Ω+1)+1)=BHO。这个系统上限BHO

明天继续更

这是“加强版”

修改的有点粗糙，解释一下。
ψ_1是”不能用加法，乘法，乘方，对于小于a进行ψ和ψ_1操作得到最小的大于Ω的序数”。

ψ_1(0)=ε_(Ω+1)，因为C_1里本来有Ω,Ω_2和所有可数序数。对Ω进行加，乘和乘方得到的其他序数均小于ε_(Ω+1)，而且比它小的其他序数均能用这种办法得到。
ψ_1(1)=ε_(Ω+2)，它是下一个不能对“ε_(Ω+1)和比它小的序数”用各种操作得到的序数。
对于所有可数序数都有ψ_1(α)=ε_(Ω+1+α)。
ψ_1(Ω)=ε_(Ω2)。
ψ_1(ψ_1(0))=ε_(ε_(Ω+1))
直到下一个ζ数。
同样我们有ψ_1(ζ_(Ω+1))=ζ_(Ω+1)，直到ψ_1(Ω_2)=ζ_(Ω+1)。后面还有ψ_1(Ω_2^Ω_2)等等，它的极限是ψ_1(ε_(Ω_2+1))。

对于ψ(Ω_2)，由于我们可以使用所有在C里出现过小于Ω_2的序数，包括ψ_1(任何东西)，我们得到ψ(Ω_2)=ψ(ζ_(Ω+1))而且ψ在ζ_(Ω+1)到Ω_2之间是常数。

最后到ψ_ω会出现一些奇怪的现象，这里就不细说了

最后修改一下，放出最终版。极限是ψ(Ω_Ω_...)

最终版先暂缓放图，只简单地解释一下。前面所有东西的下标都不超过ω，而ψ_α的值大于Ω_α小于Ω_(α+1)。我们可以将α—>Ω_α这一操作加入C，取消ψ_ν里ν的取值限制就可以了。