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【跟我有关的】双心五边形终结篇

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一楼献给慧兴老师和Lwhaat同学。

谢谢老师和Lwhaat李同学,到数学吧看到了你的帖子,我很激动。

毕竟有一段时间我和你们一样辛苦的度过……


1楼2009-08-10 11:52回复
    如图,五边形A,B,C,D,E既外接于圆,又内切于圆。
    将五切点隔位相连,如此得到五个交点A3,B3,C3,D3,E3.证明:此五点共圆。


    2楼2009-08-10 11:53
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      接下来,我们将证明以下命题:

      1:AB3C,BC3D,CD3E,DE3A,EA3B共线

      2:A3,B3,C3,D3,E3共圆(记作圆O3)

      3:CE,DA,EB,AC,BD与圆O3相切

      4:O1,O2,O3共线(O1,O2分别为外接圆与内切圆的圆心)


      3楼2009-08-10 11:53
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        证明:
        引理(1): △ABC中,若AE=AF,BF=BD,CE=CD,则△DEF的外接圆与△ABC三边相切.
        证明:作出△ABC的内切圆,则其内切圆必切三边于D,E,F.
        引理(1)得证.


        4楼2009-08-10 11:54
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          引理(2):

          四边形ABCD中,若AK=AN,BK=BL,CL=CM,LM=LN.则,K,L,M,N四点共圆.

          ∵AK=AN,BK=BL,

          ∴∠LKN=180°-∠BKL-∠AKN=180°-(90°-1/2∠B+90°-1/2∠A)=1/2(∠A+∠B).

          同理: ∠MNK=1/2(∠C+∠D).

          ∴∠LKN+∠MNK=180°.

          ∴K,L,M,N四点共圆.引理(2)得证


          5楼2009-08-10 11:54
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            证命题1:

            ∵E2C=A2C

            ∴ (sin∠E2B3C)/(sin∠A2B3C)=(sin∠B3E2C)/(sin∠B3A2C).

            同理:(sin∠D2B3A)/(sin∠C2B3A)=(sin∠B3D2A)/(sin∠B3C2A).

            又:∠B3E2C+∠B3C2A=180°, ∠B3A2C+∠B3D2A=180°.

            ∴(sin∠B3E2C)/(sin∠B3A2C)=(sin∠B3C2A)/(sin∠B3D2A).

             (sin∠E2B3C)/(sin∠A2B3C)=(sin∠C2B3A)/(sin∠D2B3A).

            ∴ ∠E2B3C=∠C2B3A.

            ∴A,B3,C共线.同理其它四组三点共线.


            6楼2009-08-10 11:54
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              证命题2:

              四边形ABCD中

              由切点弦及同弦所对的圆周角

              知△B3D2A∽△C3A2D

              ∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)

              又∵(AC2)/(AE3)=(siC4∠AE3C2)/(siC4∠AC2E3)=(siC4∠DE3A2)/(siC4∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)

              ∴(AC2)/(DA2)=(AE3)/(E3D)

              ∴(B3A)/(DC3)=(AE3)/(E3D)

              即:(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)=a

              (CB3)/(D3C)=a

              (C3B)/(BA3)=a

              (A3E)/(ED3)=a

              (ED3)/(A3E)=a

              ∴(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)= (CB3)/(D3C)= (C3B)/(BA3)= (A3E)/(ED3)= (ED3)/(A3E)=a=1

              ∴B3A=AE3,C3B=BA3,D3C=CB3,E3D=DC3,A3E=ED3.

              ∵△B3D2A∽△C3A2D

              ∴E4B3=E4C3.

              同理:A4C3=A4D3,B4D3=B4E3,C4E3=C4A3,D4A3=D4B3

              在四边形AKA4B4中由引理(2)得:B3,C3,D3,E3共圆.

              同理其它四组四点共圆.

              ∴B3,C3,D3,E3,A3共圆.


              9楼2009-08-10 11:56
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                证命题3:

                在△AKD中由引理(1)得:

                这个五点圆与AC,BD,AD相切.同理这个五点圆与BE,CE相切.

                即这个五点圆与AC,BD,CE,AD,BE相切.

                命题3得证!


                10楼2009-08-10 11:56
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                  证命题4:

                  易得:(B3C)/(E2C)=(B3A)/(D2A)=(C3B)/(E2B).

                  由Casey定理得:此三圆共根轴,即圆心共线.

                  命题4得证!


                  11楼2009-08-10 11:56
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                    修正9楼证明:

                    证命题2:

                    四边形ABCD中

                    由切点弦及同弦所对的圆周角

                    知△B3D2A∽△C3A2D

                    ∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)

                    又∵(AC2)/(AE3)=(sin∠AE3C2)/(sin∠AC2E3)=(sin∠DE3A2)/(sin∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)

                    ∴(AC2)/(DA2)=(AE3)/(E3D)

                    ∴(B3A)/(DC3)=(AE3)/(E3D)

                    即:(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)=a

                    (CB3)/(D3C)=a

                    (C3B)/(BA3)=a

                    (A3E)/(ED3)=a

                    (ED3)/(A3E)=a

                    ∴(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)= (CB3)/(D3C)= (C3B)/(BA3)= (A3E)/(ED3)= (ED3)/(A3E)=a=1

                    ∴B3A=AE3,C3B=BA3,D3C=CB3,E3D=DC3,A3E=ED3

                    ∵△B3D2A∽△C3A2D

                    ∴E4B3=E4C3

                    同理:A4C3=A4D3
                    B4D3=B4E3
                    C4E3=C4A3
                    D4A3=D4B3

                    在四边形AKA4B4中由引理(2)得:B3,C3,D3,E3共圆

                    同理其它四组四点共圆.

                    ∴B3,C3,D3,E3,A3共圆.

                    命题2得证!


                    12楼2009-08-10 11:57
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                      .


                      13楼2009-08-10 11:58
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                        .


                        14楼2009-08-10 11:58
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                          = = 我不是,这个证明是我同学的杰作


                          17楼2009-08-10 12:35
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                            = =|||

                            宇宙无敌的恋哥= =


                            19楼2009-08-10 18:12
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                              楼上神牛啊~

                              膜拜的我都怕地上了全身

                              嗯,五体投地!


                              21楼2009-08-12 01:05
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