所有互素的解可被a,b,c表示。如a=3，b=15，c=21不能被a,b,c表示。

存在三个不同的完全平方数，使得它们能构成等差数列，这有一类很简单易懂的答案，可由勾股数组构造而得：
若a²+b²=c²,则（a-b)²,c²,（a-b)²即是。

定理：不存在四个不同的完全平方数，使得它们能构成等差数列
证明：设公差为d，则四个数分别为：
a^2 ......(1)
a^2+d=A^2 ......(2)
a^2+2d=B^2 ......(3)
a^2+3d=C^2 ......(4)
(2)+(3)+(4)：3a^2+6d=A^2+B^2+C^2，所以3/A^2+B^2+C^2；
同时，根据(2)、(3)、(4)式A、B、C必要一个为3整除，不妨令3/A,则3/B^2+C^2，如果B、C均不为3整除；则3/B^2-1+C^2-1+2，从而3/2,这是不可能的。
因此B、C必有一个为3整除，
根据3/A^2+B^2+C^2，知另一个也为3整除。所以A、B、C均为3整除。
从（4）知：3/a，从而3^2/d。
把(2)、(3)、(4）约去3^2，得到的形式与原式(2)、(3)、(4）完全一样。这样的证明可以无限进行下去，均得到A、B、C为3整除，这当然是不可能的（无穷递降法）。 证毕

如果a不是3的倍数，a=3m+-1，a^2除以3余1；从3/A^2+B^2+C^2，A、B、C任一个为3整除，推出另二个也为3整除。

根据3/A^2+B^2+C^2，可能有两种情形，A,B,C同时被3整除，或同时不被3整除。

仔细看证明过程！

如果a不是3的倍数，a=3m+-1，a^2除以3余1；从3/A^2+B^2+C^2，A、B、C任一个为3整除，你是怎么确定的?还是由(2)，(3)，(4)能确定?

由8楼可知，A，B，C全部的互素解均不被3整除。但是A^2+B^2+C^2能够被3整除。

10楼未考虑3/d，实际上如果存在，24/d

存在四三个不同的完全平方数，使得它们能构成等差数列。
设a^2，a^2+d=b^2，a^2+2d=c^2构成等差数列，
1、如果c为偶数，从a^2+2d=c^2知a为偶数，d为偶数；当a、d为偶数时，b也为偶数。偶数约去，可以只考虑a、b、c为奇数情形。
2、由于a^2，a^2+d=b^2，a^2+2d=c^2构成等差数列，所以a^2+c^2=2b^2，a、b、c为奇数
令a=A-B，c=A+B，代入a^2+c^2=2b^2：A^2+B^2=b^2，根据勾股定理，得出：
A=m^2-n^2，B=2mn，b=m^2+n^2或者A=2mn，B=m^2-n^2，b=m^2+n^2
因此a=A-B=m^2-n^2-2mn，b=m^2+n^2，c=A+B=m^2-n^2+2mn，m^2-n^2-2mn>0
或者a=A-B=2mn-m^2+n^2，b=m^2+n^2，c=A+B=m^2-n^2+2mn，2mn-m^2+n^2>0
3、对于a、b、c不互素，即a、b、c有公因子t同样成立
a=m^2t-n^2t-2mnt，b=m^2t+n^2t，c=m^2t-n^2t+2mnt，m^2-n^2-2mn>0
或者a=2mnt-m^2t+n^2t，b=m^2t+n^2t，c=m^2t-n^2t+2mnt，2mn-m^2+n^2>0

（m，n）=1，且m、n一奇一偶！

更进一步，不存在4个不相同的正整数，它们成等差数列，并且乘积为平方数（数论100题P20）

1楼：不是所有解：如1、25、49

设公差为d，则有：
a^2+d=A^2 ......(1)
a^2+2d=B^2 ......(2)
a^2+3d=C^2 ......(3)
1、从（2）知：如a为偶数，B为偶数，d也为偶数，从而A、B、C、a均为偶数，4
/d,只可考虑A、B、C、a均为奇数
2、从（1）、（2）消去d，2A^2-B^2=a^2，即a^2+B^2=2A^2 ......(4)
由于B、a为奇数，B>a，设a=r-s，B=r+s，r>s，r、s一奇一偶，代入（4）得：
r^2+s^2=A^2，
该式有解：r=2mn，s=m^2-n^2，A=m^2+n^2，
或r=m^2-n^2，s=2mn，A=m^2+n^2，（m，n）=1，m、n一奇一偶
因此a=2mn-m^2+n^2，A=m^2+n^2，B=2mn+m^2-n^2 ......(5)
或a=m^2-n^2-2mn，A=m^2+n^2，B=m^2-n^2+2mn ......(6)
对于三个不同的完全平方数，使得它们能构成等差数列，（5）、（6）即为其解，m>n且保证a>0!
3、（5）、（6）均得出：d=4mn(m^2-n^2)，
因须判断（m^2-n^2+2mn）^2+4mn(m^2-n^2)=C^2是否成立！