交换积分次序和坐标系变换(含习题)

二楼

三楼

本贴主要讲解。
二重积分的X型区域和Y型区域的互换。记录一些典型的题目。
极坐标的几种形式。柱坐标。
球坐标的几种形式。
雅可比，坐标系变换。

这个楼层的楼中楼会做为本贴的导航目录。

X型区域，Y型区域。
还有三个典型的例题。
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例15.3.2:
选择不同的积分顺序，计算的难易程度可能会有所差别。
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例15.3.3:
对于一些二重积分，其中一个累次积分很难计算出二重积分的值，而另一个累次积分却能容易地算出二重积分的值。
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例15.3.4:
对称性，几何意义也是经常使用的方法，能简化运算。

二重积分的变量替换公式。
n重积分的变量替换公式。
雅可比行列式。
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竖线的含义不同。
图一和图二，是对雅可比行列式的值取绝对值。
图三，是线性代数的行列式。
注意: 雅可比行列式中。
同一行是同一个因变量。
同一列是同一个自变量。
对于非数学专业的考研，一般对这几个公式不做要求，但是了解一下也是可以的，有时候能简化很多运算量。
记住广义极坐标的雅可比行列式的值。
记住广义球坐标的雅可比行列式的值。

标准圆的极坐标变换。
圆心在坐标原点。
(1)是整个圆。
(2)和(3)是半个圆。
直接将x和y的参数方程代入到表达式中，求出r的范围。
雅可比行列式的值是r，这个值要背住。就是图中最后一行。

椭圆，广义极坐标。
过原点，圆心在x轴和y轴的极坐标。
椭圆的雅可比行列式的值，也是要背的。

标准球的球坐标变换。
球心在坐标原点。
雅可比行列式的推导看下一个楼层。
注意有一个角度是0到180度，另一个角度是0到360度。

椭球，广义球坐标。
过原点，球心在z轴的球坐标。
椭球的雅可比行列式的值，也是要背的。

首先0<=r<=2，说明是个圆。
θ从0到45度。
45度是y=x的直线。
如图所示的区域。
然后要变成X型。
先求圆和直线的交点。因为x和y大于等于0，只有一个交点P。
然后X型区域，是做x轴的垂线进行区域分隔。分为D1和D2。
解方程求出上方曲线y的表达式，下方都是y=0。

0到45度是等腰直角三角形。
45度到90度是扇形。
交点是P。
边界曲线求出来。
区域图画出来。
分区域，解出X型和Y型的表达式。
选D

区域图是一个正方形。
被积函数关于x和y都是偶函数，积分区域关于x轴和y轴都对称。
所以取第一象限，然后四倍。
然后进行坐标系变换。
先算出变换后的积分区域。
再算变换的雅可比行列式。
然后开始积分。