【问题】关于正方形纸上随意扔3个点形成锐角三角形的概率

我通过计算得到锐角的概率是75%。
然后自己写了个程序，发现有问题。

program dreiecke;
var n:integer;
x1i,y1i,x2i,y2i,x3i,y3i:integer;
x1,y1,x2,y2,x3,y3:real;
d1,d2,d3,d1s,d2s,d3s:real;
c1,c2,c3,c0,cc,pd:longint;

function distance(x1d,y1d,x2d,y2d:real):real;
var xd,yd:real;
begin
xd:=x2d-x1d;
yd:=y2d-y1d;
distance:=sqrt(xd*xd+yd*yd);
end;

function senkend(x1s,y1s,x2s,y2s,x3s,y3s:real):real;
var ax0,by0,c,d:real;
begin
ax0:=+(y2s-y1s)*x3s;
by0:=-(x2s-x1s)*y3s;
c:=(x2s-x1s)*y1s-(y2s-y1s)*x1s;
d:=distance(x1s,y1s,x2s,y2s);
if d=0 then senkend:=0 else senkend:=(ax0+by0+c)/d;
senkend:=abs(senkend);
end;


begin
readln(n);
for x1i:=1 to n do
for y1i:=1 to n do
for x2i:=1 to n do
for y2i:=1 to n do
for x3i:=1 to n do
for y3i:=1 to n do
begin
x1:=x1i/n;
y1:=y1i/n;
x2:=x2i/n;
y2:=y2i/n;
x3:=x3i/n;
y3:=y3i/n;
d1:=distance(x2,y2,x3,y3);
d2:=distance(x1,y1,x3,y3);
d3:=distance(x1,y1,x2,y2);
d1s:=senkend(x2,y2,x3,y3,x1,y1);
d2s:=senkend(x1,y1,x3,y3,x2,y2);
d3s:=senkend(x1,y1,x2,y2,x3,y3);
pd:=1;
if d1s>d2 then pd:=3;
if d1s>d3 then pd:=3;
if d2s>d1 then pd:=3;
if d2s>d3 then pd:=3;
if d3s>d1 then pd:=3;
if d3s>d2 then pd:=3;
if d1s=d2 then pd:=2;
if d1s=d3 then pd:=2;
if d2s=d1 then pd:=2;
if d2s=d3 then pd:=2;
if d3s=d1 then pd:=2;
if d3s=d2 then pd:=2;
if d1s=0 then pd:=0;
if d2s=0 then pd:=0;
if d3s=0 then pd:=0;
if pd=0 then c0:=c0+1;
if pd=1 then c1:=c1+1;
if pd=2 then c2:=c2+1;
if pd=3 then c3:=c3+1;
end;
cc:=c0+c1+c2+c3;
writeln(100*c0/cc);
writeln(100*c1/cc);
writeln(100*c2/cc);
writeln(100*c3/cc);
writeln(100*(c0+c1)/cc);
writeln(100*(c2+c3)/cc);
writeln('finished');
readln;
end.

其中：
distance是测得两点间距离的函数。
senkend是测得一点到另外两点连成直线的距离的函数。

n=5时测得锐角=80%
n=10时测得锐角=90%
n=14时测得锐角=95%

你可以用勾股定理来检查是否锐角三角形。

根据5L的提示，我把程序变了一下。
这次的结果又出人意料。
n=2时和原结果一样，但n>2时锐角的概率上升。
奇怪的是锐角的概率不是单调上升的在某些值的时候会出现反弹。
最诡异的是直角的概率（理论上为0），有时为2%有时为5%，貌似和奇偶有关？

program dreiecke2;
var n:integer;
x1i,y1i,x2i,y2i,x3i,y3i:integer;
x1,y1,x2,y2,x3,y3:real;
d1,d2,d3,d1s,d2s,d3s:real;
c1,c2,c3,c0,cc,pd:longint;


begin
readln(n);
for x1i:=1 to n do
for y1i:=1 to n do
for x2i:=1 to n do
for y2i:=1 to n do
for x3i:=1 to n do
for y3i:=1 to n do
begin
x1:=x1i/n;
y1:=y1i/n;
x2:=x2i/n;
y2:=y2i/n;
x3:=x3i/n;
y3:=y3i/n;
d1:=(x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2);
d2:=(x3-x1)*(x3-x1)+(y3-y1)*(y3-y1);
d3:=(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);
d1s:=d2+d3-d1;
d2s:=d1+d3-d2;
d3s:=d1+d2-d3;
pd:=1;
if d1s<0 then pd:=3;
if d2s<0 then pd:=3;
if d3s<0 then pd:=3;
if d1s=0 then pd:=2;
if d2s=0 then pd:=2;
if d3s=0 then pd:=2;
if pd=1 then c1:=c1+1;
if pd=2 then c2:=c2+1;
if pd=3 then c3:=c3+1;
end;
cc:=c0+c1+c2+c3;
writeln('rs ',100*c1/cc);
writeln('rt ',100*c2/cc);
writeln('rd ',100*c3/cc);
writeln('finished');
readln;
end.

5
rs 2.3193600000000000E+0001
rt 2.1587200000000000E+0001
rd 5.5219200000000000E+0001


10
rs 2.5896000000000000E+0001
rt 5.6488000000000000E+0000
rd 6.8455200000000000E+0001


14
rs 2.7184623328715076E+0001
rt 2.4964619333780993E+0000
rd 7.0318914737906825E+0001

这题我出过

n趋近无穷大时，这个概率应该有个极限的。

我实测数据，20*20矩形，锐角三角形约70%，呈现明显的渐近线趋势，75%的结果也许对的！希望其他人再试对比！

我的实测结果，从2到30构成数对：
2 0 3 38 4 50 5 56 6 60 7 62 8 64 9 65 10 66 11 67 12 68 13 68 14 69 15 69 16 70 17 70 18 70 19 70 20 70 21 71 22 71 23 71 24 71 25 71 26 71 27 71 28 71 29 71 30 71 。。。

我的第二个程序显示钝角大概是70%。虽然和我的计算不符，但我更倾向于这个答案是对的。

过两天我用vb写，顺带改进一下算法。估计vb运行得会快一点（pas只允许64K的内存，空间复杂度不能太高。）

试一下久违的int64？