如图，五边形A，B，C，D，E既外接于圆，又内切于圆。
将五切点隔位相连，如此得到五个交点A3，B3，C3，D3，E3．证明：此五点共圆。

接下来，我们将证明以下命题：

1:AB3C,BC3D,CD3E,DE3A,EA3B共线

2:A3，B3，C3，D3，E3共圆（记作圆O3）

3:CE,DA,EB,AC,BD与圆O3相切

4:O1,O2,O3共线（O1,O2分别为外接圆与内切圆的圆心）

证明：
引理(1): △ABC中,若AE=AF,BF=BD,CE=CD,则△DEF的外接圆与△ABC三边相切.
证明：作出△ABC的内切圆,则其内切圆必切三边于D,E,F.
引理(1)得证.

引理(2):

四边形ABCD中，若AK=AN,BK=BL,CL=CM,LM=LN.则,K,L,M,N四点共圆.

∵AK=AN,BK=BL,

∴∠LKN=180°-∠BKL-∠AKN=180°-(90°-1/2∠B+90°-1/2∠A)=1/2(∠A+∠B).

同理: ∠MNK=1/2(∠C+∠D).

∴∠LKN+∠MNK=180°.

∴K,L,M,N四点共圆.引理(2)得证

证命题1:

∵E2C=A2C

∴ (sin∠E2B3C)/(sin∠A2B3C)=(sin∠B3E2C)/(sin∠B3A2C).

同理:(sin∠D2B3A)/(sin∠C2B3A)=(sin∠B3D2A)/(sin∠B3C2A).

又：∠B3E2C+∠B3C2A=180°, ∠B3A2C+∠B3D2A=180°.

∴(sin∠B3E2C)/(sin∠B3A2C)=(sin∠B3C2A)/(sin∠B3D2A).

 (sin∠E2B3C)/(sin∠A2B3C)=(sin∠C2B3A)/(sin∠D2B3A).

∴ ∠E2B3C=∠C2B3A.

∴A,B3,C共线.同理其它四组三点共线.

证命题2:

四边形ABCD中

由切点弦及同弦所对的圆周角

知△B3D2A∽△C3A2D

∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)

又∵(AC2)/(AE3)=(siC4∠AE3C2)/(siC4∠AC2E3)=(siC4∠DE3A2)/(siC4∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)

∴(AC2)/(DA2)=(AE3)/(E3D)

∴(B3A)/(DC3)=(AE3)/(E3D)

即:(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)=a

(CB3)/(D3C)=a

(C3B)/(BA3)=a

(A3E)/(ED3)=a

(ED3)/(A3E)=a

∴(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)= (CB3)/(D3C)= (C3B)/(BA3)= (A3E)/(ED3)= (ED3)/(A3E)=a=1

∴B3A=AE3,C3B=BA3,D3C=CB3,E3D=DC3,A3E=ED3.

∵△B3D2A∽△C3A2D

∴E4B3=E4C3.

同理:A4C3=A4D3,B4D3=B4E3,C4E3=C4A3,D4A3=D4B3

在四边形AKA4B4中由引理(2)得:B3,C3,D3,E3共圆.

同理其它四组四点共圆.

∴B3,C3,D3,E3,A3共圆.

证命题3：

在△AKD中由引理(1)得:

这个五点圆与AC,BD,AD相切.同理这个五点圆与BE,CE相切.

即这个五点圆与AC,BD,CE,AD,BE相切.

命题3得证！

证命题4：

易得:(B3C)/(E2C)=(B3A)/(D2A)=(C3B)/(E2B).

由Casey定理得:此三圆共根轴,即圆心共线.

命题4得证！

修正9楼证明：

证命题2:

四边形ABCD中

由切点弦及同弦所对的圆周角

知△B3D2A∽△C3A2D

∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)

又∵(AC2)/(AE3)=(sin∠AE3C2)/(sin∠AC2E3)=(sin∠DE3A2)/(sin∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)

∴(AC2)/(DA2)=(AE3)/(E3D)

∴(B3A)/(DC3)=(AE3)/(E3D)

即:(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)=a

(CB3)/(D3C)=a

(C3B)/(BA3)=a

(A3E)/(ED3)=a

(ED3)/(A3E)=a

∴(B3A)/(AE3)=(DC3)/(E3D)= (CB3)/(D3C)= (C3B)/(BA3)= (A3E)/(ED3)= (ED3)/(A3E)=a=1

∴B3A=AE3,C3B=BA3,D3C=CB3,E3D=DC3,A3E=ED3

∵△B3D2A∽△C3A2D

∴E4B3=E4C3

同理:A4C3=A4D3
B4D3=B4E3
C4E3=C4A3
D4A3=D4B3

在四边形AKA4B4中由引理(2)得:B3,C3,D3,E3共圆

同理其它四组四点共圆.

∴B3,C3,D3,E3,A3共圆.

命题2得证！

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完毕了

看了一晚上才弄懂……

数学帝

= = 我不是，这个证明是我同学的杰作