2^x+3^y=5^z......(1)的正整数解(1,1,1),(4,2,2)
≡0 (mod7
证明:
1、(1)两边对3取模:(-1)^x≡(-1)^z (mod3)
显然x、z同为奇数或同为偶数,当x、z同为偶数时,(1)即为:4^x+3^y=5^z
本吧本人讨论过,该式仅有解(2,2,2),即(1)有解(4,2,2)!
2、当x、z同为奇数时,
(1)式两边对4取模,2^x-1+(-1)^y≡0(mod4)
当x=1时,y为奇数;当x>=2时,y为偶数.....(2)
(1)两边对5取模:3^y-3^x≡0(mod5)
如y>x,y-x=t,3^t-1≡0(mod5);y<x,x-y=t,3^t-1≡0(mod5),
当t=2a+1,3^t-1=3*3^(2a)-1=3(10-1)^a-1≡3+-1≡0(mod5),不可能,
t为偶数,因为x为奇数,y为奇数。与(2)矛盾
因此,只有x=1或x=y