这个是竞赛题。
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需要有一定的高等数学的基础。
下面会补图,将省略的步骤都写出来,所以如果看不懂过程,可以结合下面的详细步骤来阅读。
这个题目的结论,在很多求极限的竞赛题中,均会涉及到。
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第一个等号的详细过程。
对积分区间划分子区间,拆开写为累加号。
h与k无关,所以可以移到累加号内部。
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第二个等号,将第二项移到积分符号内部的详细过程。
将xk-x(k-1)改写为被积函数为1的积分。
f(xk)是个常数,所以可以移到积分符号内部。
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凑微分求积分,代入上下限,再将h代入。
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这个极限式子刚好满足定积分定义。Δx趋向0。
所以这个极限就是f'(x)从a到b的定积分。
定积分的定义,有不明白的可以去看高等数学的教材。
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第一图的第三个等号,引入了分母x-xk,同时引入无意义的点。
虽然引入无意义的点,但是他不是反常积分,仍然是定积分,只是多了一个第一类间断点。
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也可以换下面这张图的做法。
借用一下积分第一中值定理的推导过程。
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下面只给第一行c到d对x-d的积分不为零的情况。因为等于零时,显然是存在η的。
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先用拉格朗日中值定理,得到的 ξ 是x的函数,ξ对于积分dx来说并不是一个确定的常数。
所以要写为ξ(x)
连续函数在闭区间取到最大值M和最小值m。
然后对被积函数进行放缩。
最后利用连续函数的介值定理。证明存在η,使得等式成立。
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定积分第一中值定理。
定积分第一中值定理的推广形式。注意红线是开区间。
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需要有一定的高等数学的基础。
下面会补图,将省略的步骤都写出来,所以如果看不懂过程,可以结合下面的详细步骤来阅读。
这个题目的结论,在很多求极限的竞赛题中,均会涉及到。
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第一个等号的详细过程。
对积分区间划分子区间,拆开写为累加号。
h与k无关,所以可以移到累加号内部。
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第二个等号,将第二项移到积分符号内部的详细过程。
将xk-x(k-1)改写为被积函数为1的积分。
f(xk)是个常数,所以可以移到积分符号内部。
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凑微分求积分,代入上下限,再将h代入。
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这个极限式子刚好满足定积分定义。Δx趋向0。
所以这个极限就是f'(x)从a到b的定积分。
定积分的定义,有不明白的可以去看高等数学的教材。
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第一图的第三个等号,引入了分母x-xk,同时引入无意义的点。
虽然引入无意义的点,但是他不是反常积分,仍然是定积分,只是多了一个第一类间断点。
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也可以换下面这张图的做法。
借用一下积分第一中值定理的推导过程。
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下面只给第一行c到d对x-d的积分不为零的情况。因为等于零时,显然是存在η的。
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先用拉格朗日中值定理,得到的 ξ 是x的函数,ξ对于积分dx来说并不是一个确定的常数。
所以要写为ξ(x)
连续函数在闭区间取到最大值M和最小值m。
然后对被积函数进行放缩。
最后利用连续函数的介值定理。证明存在η,使得等式成立。
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定积分第一中值定理。
定积分第一中值定理的推广形式。注意红线是开区间。
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