第一部分简单,x遍历0到p-1时
f(x)=p的倍数时 则y有1个解
f(x)为模p平方剩余时,y有两个解
f(x)为模p的非平方剩余时,y无解。
设上述三类情形分别有m1,m2,m3种,则m1+m2+m3=p
解的个数为m1+2m2
所给公式=p+m2-m3=m1+m2+m3+m2-m3=m1+2m2
两者相同得证。
第二小题,说明a遍历0到p-1时
a^3-c两两模p不同即可。
设p=3k-1
若x^3-c=y^3-c modp
那么x^3=y^3 mod p
x=0<=>y=0
x,y不为0时
由欧拉定理可知x^(3k-2)=y^(3k-2)=1(modp)
所以x=x^(6k-3)=y^(6k-3)=y mod p
所以a遍历0到p-1时,f(a)模p同样遍历0到p-1,此时有∑(f(a)/p)=0
由第一小题结果可知解恰有p个。