本文供中二的同学食用，哲♂学居多，没有太多的数学知识，但是正规类型，不是科普内容。这不是为那些需要考试的同学准备的。
我们可以看到很多现象，这些现象都可以用文字描述，也可以用数学进行描述，比如质点运动，用质量、坐标、速度就可以描述。对比数学描述，文字描述颇有哲学化的味道，通常也是模糊的，怎么说都可以，中国两千多年前就已经用文字阐述了宇宙大爆炸的理论：“道生一，一生二，二生三，三生万物”【 】。然而这样的描述并不能给出准确的、可验证的预测，甚至可能由于过于精简产生错误，一部车在悬崖边刹车到底是掉下去还是在悬崖边刹停这样的问题这种文字化的理论无法给出有效的预测，而对于两块磁铁，同性相斥异性相吸的简单描述有时会得出错误的结论【就是说描述错误】。同样的东西也可以用完全不同的文字描述，比如两块磁铁吸到一起，可以说运动过程中系统势能转化为动能，也可以说是磁场能量转化为动能，不同的意义对应着同样的事实。然而对同样的现象数学描述会建立出同样的【或者等价的】数学模型，得到确定的预测。为了把数学描述与世界对应起来，我们需要进行建模。建模是一种半哲学半数学的过程。
波函数有多种解析，这个可以参考wiki，用得比较多的是概率解析，书上也采用了这个，不过这里没有采用这种解析，而是采取了一种和场论类似的说法。采用不同的解析不会对结果有什么影响，实际上除了采纳别人的解析外你自己创造一个也可以，重要的只是计算结果，相同的结果对应着相同的现实世界。这里会说一点哲学化的东西，比较简单，大致相当于开课前老头吹的东西，数学上的东西内容比较多，还是看书吧。

朴素的世界观
每个理论都会有自己的世界观，与民科观点不同，这些世界观都显得非常朴素，没有过多的假设，之所以产生复杂的现象只是因为数学运算的结果。通常的观点，越简单的模型对的可能性越高【只是感觉上的←_←】。
经典的世界观.1
使用简单的状态-演化模型建模。经典理论认为我们所认识的现象就是系统状态，系统状态按一定规律演化。在上古时代我们就已经知道用位置、速度之类的可观测量来描述系统状态，并取得了极大的成功，某天我们发现电磁场可以用 E、B 描述也可以用 A 描述，两者并不等价，E、B一如既往地对应着观测量，而A并不能观测，甚至还有一定的随意性，但是我们并没有太在意那个才是真正的状态，按习惯应该是E、B，然而按数学逻辑似乎应该是A【实际确实是】。
经典的世界观.2
世界由无限小的质点组成。在我们做力学或者其他问题的时候总是喜欢用ρdV之类的做法，这实际已经等于承认体积V是无限可分的。这种做法取得了极大的成功，和我们平日所见的现象符合的很好。后来发现了分子原子电子之类的东西，貌似事物不能无限细分，这样干不太妥当，但是对比一下尺度可以发现这些东西对我们通常研究的现象来说确实可以写成 dV、dx这样的无限小质点，而对于电子之类无法打开的东西，我们还是认为它就是一个点。
经典的世界观.3
质点运动是连续确定的。按照牛顿力学的方程，可以通过数学运算得到质点连续精确的轨迹，比如小球自由下落，通过初始状态 (y0,t0)=(0,0)可以得到过去或者未来某时刻的状态y = ½ gt²。

量子的世界观.1
使用状态-演化-观测模型建模。多年来，我们从来没有考虑过观测的是否真的是事物的状态，但事实也可能像老师观测学生，学生原来的状态是在玩，老师回头观测的结果可能是在玩，也可能是在认真上课，观测量与状态量并不一致。由于观测量与状态量的分离状态量具有随意性是容许的，评价理论正确性的标准就是观测量的正确性，因为这个对应现实世界，状态量的表述可以忽略，这不代表任何东西，你用ψ或者iψ都无所谓，我们不关心。
量子的世界观.2
所谓的状态，就是粒子的存在形式。经典理论中，粒子是点状或者有一定几何形状的东西，有明确的边界，并且以100%的概率存在于已知位置。但在量子力学中，粒子以波函数描述，这个源自波粒二象性现象的发现。以波函数描述粒子带来的是波函数弥散在整个空间，也就是说粒子存在时并不是定域的。其实这两个描述都是非常朴素的模型，经典理论中点代表了世界是可无限分割的，以最小单元为基础去描述世界，而量子的弥散图像则相当于认为不能凭空使最小单元的无数自由度变成0【而且还可以有更多的自由度】，相较而言量子图像更基本。那么我们所认识的电子是什么？按照量子力学的说法，这就是观测量，测量算符的某一本征态【位置的本征态，位置确定，其他位置波函数都为0】，因为你测量了粒子的位置，所以你知道那里有一个电子，对应于经典的电子。然而在不测量的时候，电子的状态并不会是位置本征态，没有确定的位置，在空间所有位置，波函数都有值。按此逻辑波函数的概率解析并不是一个好主意。
量子的世界观.3
连续的演化和不连续的测量。在没有外界测量的时候，系统按照确定的方式演化，都是连续确定的，虽然数学上与经典力学不同，使用的是薛定谔方程，但在通常情况下经典对应是一样的【不一样的理论可以扔了，任何理论都要和实验现象符合】，知道初始时刻的态就可以得到没有测量的未来的状态。在外界测量时，状态的变化与经典力学有显著不同，不再是连续确定的，而是多对多概率性的，真正的概率解析出现在此处，由于概率性时间不可逆。一个可观测量在观测前通常是不确定的，比如位置，一个没有受到测量的粒子在观测前不存在确定的坐标，只有坐标的平均值，测量时才存在确定值。
量子的世界观.4
经典力学与量子力学的关系是平均值与单个样本的关系，不能使用平均值的常识去推测样本的性质，反过来则可以，通常仅仅是做个平均。类似的还有牛顿力学与相对论的关系，前者是后者的低速近似。

相对论的世界观顺带一提的是相对论的世界观，有些与量子力学比较相似的东西。经典理论认为存在一个绝对的时空，时间对谁都公平，空间是笛卡儿坐标系，简洁漂亮。而相对论的做法则认为不能凭空创造出时空【是不是和前面不能凭空消除无数自由度很相似?所以不要凭空创造出什么东西来】，只有参照物自身的时间是基本的，时空是测量效应，由于物质间的相互作用主要是电磁相互作用【对应电磁波、光】，对演化起到主导作用，所以通过光的双程测量定义同时性，通过光的单程时间定义距离，由此定义发现时空中光速是不变的，然后吧啦吧啦……详细的可以看看赵展岳那本书，说得很好，建议先看广相开头部分，这里不再细表。

双缝干涉实验
双缝干涉实际有很多版本，干涉粒子品种也很多，光子、电子、氦原子、C60球之类都有，这里只是原理说明，拿光子说事。
使用单光源照亮双缝S1、S2，单独打开S1或者S2，我们得到熟悉的衍射图案，光子状态|P> = a1(x) 或a2(x)【这里直接写成单粒子，后面再说明这是单粒子现象】。屏上的结果(S1)是<P|P> = a1*(x) a1(x) = |a1(x)|²，S2类似。如果把两个图案叠加，我们会得到|a1(x)|² + |a2(x)|²。
打开两条缝S1和S2，我们会得到也是相当熟悉的干涉图案。注意干涉图案并不是两张衍射图案的直接叠加，而是波的叠加，说明a1(x)和a2(x)是波。光子状态|P>=a1(x)+a2(x)，屏上结果<P|P>= (a1*(x) +a2*(x)) (a1(x)+a2(x)) = |a1(x)|² + |a2(x)|² +a1*(x)a2(x) +a2*(x)a1(x)，前两项是直接叠加【两张衍射图案叠加】，多出的后两项是干涉项。

现在改用非常弱的光源并用底片接收，在较短的时间内，我们没有得到干涉或者衍射图案，只有无规则的几个点，而时间较长的底片会得到类似的干涉条纹。由几个点慢慢叠加到干涉条纹说明光子是一个一个到达屏幕的，表明是单粒子现象，并且干涉条纹只是光子的多少，对应测量结果的概率【同时还说明到达位置是不确定的，不可预测，只能预测概率】，因此干涉条纹实际上是到达屏幕的状态|P> 的内部干涉。
我们对光的路径进行标识好判断光子走的路径，比如S1用横偏振 |←>、S2用纵偏振|↑>，这时干涉条纹消失了！现在光子的状态成了|P> = a1(x)|←> + a2(x)|↑>【之前两条缝出来的光子偏振是一样的所以没影响】，屏上的结果是 <P|P> = (<←|a1*(x) + <↑|a2*(x)) (a1(x)|←> + a2(x)|↑>) = |a1(x)|² + |a2(x)|²【注意<↑|↑>=1，<↑|←>=0 ……】，只是两条衍射条纹的普通叠加。

这里说一下波函数的形象。科普文在说到电子云的时候经常会说这是电子出现在某处的概率，给人一种在云朵里有一颗电子在闪烁的图像，然而ψ(x)并非只在某位置才有值其他位置为0，没有进行测量电子根本就不会出现在某处，只有经过测量才能确定电子的位置，当然，测到出现在某处的概率就是|ψ|²，测量完成后则是电子以100%的概率出现在了该处。另一种可行的图像似乎更合适，就是把整个电子云看作是电子本身。
1s电子形状最简单，类似于一个球【不同半径球面上幅度不一样，在无穷远处幅度趋于0，球面上相位相同】，平均位置就和原子核在同一位置。按经典的模型一个点粒子的电子由于异种电荷相吸，不可能维持定态，必须绕核公转靠角动量避免落入原子核，这又有个为什么不发出辐射的问题。而在量子模型中球面上幅度和相位相同，角动量为0，整个电子云完全看不到公转的可能，不存在依靠角动量保证电子不会被吸进去的说法，原子核就像藏在电子云中间一样【确实掉进去了，电子比较大，原子核比较小，较符合直观感受的说法是原子核掉进电子里面了，原子核和电子中心重合对应于电势能最低的状态。或许你会问这不是撞上了吗？但实际上撞上不等于能发生反应，还需要满足能量的要求，通常的原子核比较稳定能量较低，产物能量较高反应不能自发进行，只有少数不稳定原子核相反，能实现β俘获甚至β+的核衰变】。
对于角动量不为0的那些电子云可以看到波确实以某种方式在旋转着【2p+轨道ψ(r,φ,θ)= f(r,φ)exp i(θ-Et)，等相面θ随着t的演化不断旋转】，对某些高角动量的轨道，可以看到旋转的速度明显加快，这点可以从波函数的系数或者更直观的图像中看出【实际并不是全部都那么容易看出，有不少还是要算的】。现在经典电子绕核旋转的电磁辐射问题貌似又出来了，但是仔细看看幅度，每一点的幅度【对应于电子在该位置存在的密度】都没改变，空间电荷分布没有变化，自然没有辐射。和双缝一样，原子中的电子波函数可以进行叠加或者混合【实际上就是不同的H的基矢】，化学上称为杂化。像p+，p-这种面包圈图一般网上很少搜到，搜到的一般是px，py这种纺锤形的图，两组之间的关系实际上只是简单的叠加 |px>=|p+>+|p->，|py>=|p+>-|p->，因为是按照波的方式叠加，所以形状并不是两个面包圈叠加，而是变成了两个纺锤型的驻波，不再旋转。实际叠加方式还有更多，sp，sp²，sp³，spd⁴……于是我们看到了很多复杂的分子构型。

算符，测量，演化.1
经典力学通常用x(t)、p(t) 描述一个状态。一个量子态的描述则是一堆复数组成的矩阵，需要有一个方法描述量子态的演化以及测量的结果，并与经典态对应起来，于是有了算符。很自然地，为了实现相同尺寸矩阵的映射，最简单的应该是个方阵，大自然确实选择了最简单的方式。

算符，测量，演化.2
对于测量A，必然有测量结果，对应于A的本征值，对应的状态叫做本征态。按照矩阵的运算规则对本征值n和本征态|n>可以写出方程A|n>=n|n>【这样取法的好处在于对态|a> 测量的期望值<A> 可以写成<A> = <a|A|a>】。量子力学测量是概率性的，对一个态|a>的测量，各本征态的概率由A表象下|n>的系数描述，运用正交条件可以得到|n>的系数为<n|a>，概率为|<n|a>|²。一个测量后的态会以100% 的概率出现在某个结果上【其实是废话】，测量前则是处在可以出现的结果的线性组合，这意味着某些信息的丢失。比如|a> = a1|1> +a2|2>+a3|3> +a4|4> ，测量结果得到4，那就是|a’> = |4>，相应关于|1>、|2>、|3>的信息都丢失了，这是通常所说的波函数坍缩。这里与经典力学有明显不同：
1. 经典力学测量不改变状态，测量 x 不会改变物体的 x，但量子力学的测量会改变状态，|a> 与 |a’> 是不同的。
2. 按经典力学的因果性，知道系统的信息从确定的状态x(t)、p(t)开始，可以得到 t’>t的任何结果，也可以回溯到 t’<t 的任何原因。量子力学从一个态|a> = a1|1> +a2|2>+a3|3> +a4|4>开始，测量的结果是不确定的，可以是|1>，也可以是|2>、|3>、|4>，只有概率是确定的，|a1|²得到|1>，|a2|²得到|2>......总之结果是非决定论的，因此不存在一种方式表述测量后的态与原状态的映射关系。而态|a’> = a1’|1> +a2’|2> +a3’|3>+a4’|4>同样可以测出|1>，或者|2>、|3>、|4>，当测量结果是|4>时，你不能倒推出测量前的状态是|4>，这个状态有可能是|a>或者|a’>。有一种例外的情况就是被测的态本身是算符的本征态【比如测量前被同样的算符测量过，并且是能量本征态】，这时测量是一对一的。
虽然测量结果不能预知但测量结果的分布、平均值却是可以预知的，按概率把测量值相加就得到平均值，而对于确定的态概率是确定的值。这个从双缝实验可以看出来。

算符，测量，演化.3
不进行测量，量子力学的演化和经典力学一样是完全确定的，不同的只是经典力学用 x(t)、p(t) 描述，而量子力学用|a(t)> 描述。那么最简单的一对一描述就是(∂/∂t)|a(t)> = α|a(t)>，为了和经典力学对应起来，经过一番暴力运算，最后得到iħ(∂/∂t)ψ(x,t) = Hψ(x,t) 这样一条式子，为了纪念可怜的猫，取名为薛定谔方程，据此可推出演化后的状态。H的本征值是能量，如果一个态ψ是H的本征态，能量为E的话，iħ(∂/∂t)ψ(x,t) = Eψ(x,t)，那么ψ(x,t)可以写成ψ(x)exp(-iEt/ħ)，随着时间演化，只是差一个模1的常数因子，系统会保持在态ψ。如果不具备确定的能量，比如粒子|a>= a1|↑> +a2|↓>【|↑>、|↓>是不同能量的本征态】，那么随着时间的演化，a1、a2会乘上不同的相位因子，系统状态会发生改变，比如|a> -> 0.8|a>+0.6|b>【系数是编的，不用在意】，并形成周期性震荡，不会保持在|a>。

在上古时代，曾经有过波粒二象性的说法，然而在实际理论中却只有波，那么粒子性表现在什么地方？这里粒子性通常有两个意思，一个是可数的，整体的，这个对应于波函数坍缩，如果结果只能是|↑>、|↓>，你不能让测量结果半个粒子处于|↑>，半个粒子处于|↓>，这个很好理解。另一个是经典的质点模型，粒子处在确定的位置，但实际上确定位置的粒子ψ(x,t) =δ(x-x0)【仅在x=x0存在，其他都是 0 】并不是能量本征态，随着时间的演化，系统状态会发生改变，也就是只有测量位置的瞬间粒子才有确定的位置，其他时候粒子都会以波的形式存在。
在量子力学发展早期就发现了德布罗意关系p=h/λ、E=hυ，把算符-iħ▽ 作用到平面波上刚好得到动量 p，把iħ∂/∂t作用到平面波得到能量E，很自然地动量算符就是-iħ▽【iħ∂/∂t则描述两个态的关系，不是算符】。让动量和能量对应于经典运动方程E=p²/2m+V，有薛定谔方程，如果你想用相对论运动方程，比如E² = p²+m²，那么会得到 K-G 方程，很简单对吧。
类似于矩阵乘法运算 AB≠BA，x 算符和 p 算符也不对易，有XP-PX= iħ，又是一通运算过后可以发现ΔxΔp≥ħ/2【所有这些东西都翻书啊】，称为不确定性关系，这里仅仅是一个态的两个可观测量之间的关系，并未涉及测量【也就是波函数坍缩】，与外界干扰毫无关系，所以称为测不准原理是不恰当的。这里并不包括E和t的关系，实际上对于确定的时间t，能量本征态|E>的能量和时间都有确定值，ΔEΔt≥ħ/2是真正的测不准关系。

叠加态：前面已经介绍过测量和态，如果一个态|a>测量A的结果是|→>,|↑>，测量B的结果是|↖>,|↗>，那么|a>可以写成|a> = a1|→> +a2|↑>【A表象，或者说视角】，也可以写成|a’> = a1’|↖> +a2’|↗>【B表象】，对于A的本征态|→>，测量B并不会得出|→>，只会以某种概率得到|↖>,|↗>，那么以B的本征态表示，这个状态就不再是本征态而是叠加态，比如|→> = |↗> - |↖>。|↗>在A的视角也是如此。
还是干涉，惠勒延时实验在科普中被描述成反因果的现象【 】。光源通过半镀银镜分为两束走两个不同的光路A、B，在接收端有一个汇聚点，可以选择放入半镀银镜或者不放入，之后有2个探测器。不放半镀银镜时测量算符的本征态是 |a>、|b>，放入后则变为|a+b>、|a-b>，在前一表象中，光子总是处于叠加态，两个探测器都会有输出，而在后一表象中通过调整光路的光程差可以使 a=b 或者 a=-b，从而其中一个结果的概率为 0。这里并不存在反因果的现象。

不连续性：边界条件
通常有一种误解，就是量子力学里面的东西都是不连续的，量子化的，比如能量，甚至还有说时间、空间不连续的【作大死，科普书看多了，实际上能有∂ 或者 d 微分符号的量都是连续的】，而实际上自由粒子的能量是连续的。量子化的原因实际上出在边界条件上，比如无限深势阱中的粒子在势阱外必须为0，于是就有了ψ(0,t)=ψ(a,t)=0的约束条件，使得sinkx中k不能连续取值【sinka=0 => k=n(π/a)，n为整数】，对应能量也就不连续了。另一个常见的边界条件就是极坐标下的周期性，这个导致了角动量的量子化。
经典对应.1
平均值：虽然量子力学在一些问题上取得了成功，然而，有时却给出奇怪图像，比如谐振子，波函数给出的图像是在什么位置的概率是多少，而经典的图像是位置处于简谐振荡的状态。这并不冲突。
首先，量子力学描述的不是质点，要对应起来，可以用粒子的质心位置，表述与经典力学一致，就是平均值<x>，对应于经典力学质点的位置x，其他算符也一样，平均值<p>对应于经典力学的p，由于此对应关系，对应观测量的算符必须是厄米的【也就是Amn= Anm*，这样本征值是实数，对应经典力学的测量值】。使用平均值后一些现象就很合理了，比如氢原子，经典力学点粒子模型有电子为什么不会坠落到原子核上的问题，而在量子力学中电子的 <x>，就在原子核上，电势能最低，不存在为什么不会掉落在原子核上的问题。
其次就是使用随时间演化的方程来描述，比如(∂/∂t)<A>，又是经过吧啦吧啦一番计算会得到类似于(∂/∂t)<A> =<[A,H]> 【A不含时】这样的结果，对多数模型最后得到与经典力学相一致的结果【然而并不总是一样，这样算电子双缝衍射会是类似于正对着缝中间冲过去，然后穿过挡板打在屏中间的样子，经典的解析则是随初始条件穿过其中一条缝拐弯打到屏上，造成这样的结果是因为平均值不能代表太过离散的结果，这只代表干涉条纹的中心位置】。
经典对应.2
守恒量：由于一个态的能量或者其他力学量不一定有确定值，所以守恒量并不是一个量保持在确定值，而是按照对应关系平均值保持不变(∂/∂t)<A> = 0。如果按照波函数概率解析确实不太好理解，但是按照物质分布方式理解却很自然，守恒量密度全空间积分就是守恒量本身。不过我们测量一个态的时候这个能量守恒关系还有效吗，设想|a> = |1eV> + |2eV>，能量<H>=1.5eV，但测量结果只能是1eV或2eV，造成这个结果是因为多余的能量转移到了测量仪器上。
由于对应关系，很多问题即可以用量子力学的方法做也可以用经典力学的方法去做，然后得到一致的结果，原则上你可以随意选用一种方法，但应用上量子力学的方法可能复杂得多。想想把谐振子的一堆波函数算出来，然后算波包形状与时间的关系，可怕，经典力学随手就出来了。但是并不是所有问题都这样，有一些问题会有差别，主要的原因就是尺度【经典力学相当于普朗克常数ħ → 0】及由此而来的概率、衍射等差别。比如地球上的聚变反应和太阳核心的聚变反应，普通二极管和隧道二极管，前者都是可以用两种方法去做，而后者都有隧道效应，概率会比经典值高出很多，最后结果差别巨大。但并不是直观上尺度大就可以使用经典力学，象中子星之类的东西由于粒子数庞大，微观所代表的尺度实际很大，计算中子星直径实际采用 0 温近似的量子力学模型【也就是基态】。

多粒子：一个粒子的描述是|a> = ( a1,a2,a3,a4 )T或者|b> = ψ(x,t)，那么2个粒子如何描述？以2个粒子的状态|aa’>来说，a有4种可能，a’也有4种可能，一共16个取值，由于状态|aa’>是列矢量，所以写成分块矩阵|aa’> = ( (a11,a12,a13,a14 ), (a21,a22,a23,a24 ), … )T，这样初步完成了描述，如果是|b> = ψ(x,t)那么把矩阵写成函数会有|bb’> = ψ(x,x’,t)，注意不是|bb’> = ψ(x,t) ψ’(x’,t)【对应于aij = ai * a’j，这样比较清晰，有16个量却只有8个自由度，丢失了8个自由度】，并不是所有函数都可以这样写，这代表这个态可以写成2个独立的粒子，是一种特例，类似于一开始对经典点粒子模型的分析一般不能随意做这种假定。
如果2个粒子是相同的，|aa’>描述中的2个相同的粒子脚标是可以区分的，但实际情况是不可区分的，任何测量对系统中|a> = |1>和|a’> = |1>都是对称的，产生同样的结果。这要求 aij = Caji，C是模1的复数，因为交换2次后是原来的状态，C²=1，有aij = ±aji。对于|aa’> = |12>，显然不符合a12 = ±a21的条件，可以区分|a>和|a’>，为此要对描述进行改造|aa’> = |12> ± |21>，符合不可区分的要求。正负号的选择不做深入说明，那是以后量子场论的事情了，知道玻色子【整数自旋】是 + 费米子【半奇数自旋】是 – 就可以了。如果是 – 号，那么aii = -aii会得到 aii=0，两个费米子不能处在同一状态【泡利不相容原理】。