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看到芦光耀的一篇好论文,正在细心钻研学习
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kaisumi3
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他的这篇论文《气体分子运动论新观念》写的很不错,可以借鉴。
kaisumi3
默默无闻
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其根本的观点就是,在平衡态下,气体分子沿某一方向运动的平均速率等于声速。
kaisumi3
默默无闻
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我的希望,就是在他原有论证的基础上,把声速论证为可变的。由此,使得对声速的计算更为精准可靠。
kaisumi3
默默无闻
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好的观点,非常不容易碰到,能否学到他人的精华,还要靠是否具有这个慧眼。
kaisumi3
默默无闻
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吸取他人的长处,弥补自己的不足。扬长避短,推陈出新。
kaisumi3
默默无闻
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声音在空气中的传播速度会是渐变的
三维空间中均方根速度的指向
在平衡态条件下,空气中分子震荡的不规则速度,就平均而言应当是各向相同的,就好比一个球面,对于一个翻个的分子,其将具有一种指向球面各向的一个平均速度,而由于这种各向速度实际上是一种理论上的假设,如果一定要细分,则会具有无限多个指向,而并非是仅仅被分成三个轴向分量的。
但是,对于每一个分子,其某一时刻只能具有一个确定的方向上的速度,而不会出现超过一个。由此,需要考虑其中所有的分子的速度及其所具有的动能,而总动能必然是一个恒定量。由此,从平均的意义上,则每个分子必然具有一个与之对应的均方根速度。
为了把一个球体中有限的分子数均分到各个方向,则,只要考虑这个球体足够大,并且分子数足够多,则在任意时刻必然一定有一些分子朝向相同的方向运动,而其具有这个均方根的速度。
这种表达方式,与纯粹的三个平移自由度略有不同,如果用三个确定的正交方向来表示某个分子的速度,则根本不可能是所有的分子速度都具有相同的指向,因为,只要
在数值上有Vx=Vy=Vz,那么三个速度分量合成的结果就基本指向了同一个方向了或者是反向
V^2=Vx^2+Vy^2+Vz^2
当然,也就8个象限,最多也就只能有8个指向。
kaisumi3
默默无闻
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但是,实际上,人们分析这种问题,主要是指方均根的速度V,大小是相等的,而方向是任意的。
kaisumi3
默默无闻
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N个分子在某一个方向上的平均速度分量
已经明确所有的分子都具有同一个大小的均方根速度V,只是它们的速度指向是平均化的,在任意一个方向上都有相等的分子数分布。
由此可先把X轴向正向与反向区分出来,这样就有1/2的分子会具有X轴正向的速度分量。即会有N/2个分子,有在X轴正向的分量。
由于速度的指向分布的球面密度是相等的,由此,可以先算出单位球面积上的速度分布的分子数密度(分子数)
S=4πr^2=16πd^2
分子数球面密度n
n=N/S=N/4πdr^2=N/πd^2
对于球面上一个dθ环其对应截面dS
dS=(d/2)^2sinθdθ
对应X轴正向速度分量半球面积分
∫∫nVcosθds=∫∫n(d/2)^2Vcosθdθdφ
∫∫nVcosθds=n(d/2)^2V∫dφ∫cosθdθ
=n(d/2)^2V∫[sin(π/2)-sin(-π/2)]dφ
=2n(d/2)^2V∫dφ
=2n(d/2)^2V[φ]
=2n(d/2)^2V[(π/2)-(-π/2)]
=2πn(d/2)^2V
=(1/2)πd^2nV
由于是半球,所以,单个分子的X轴正向分量要除以N/2,于是有
V(x)=(1/2)πd^2nV/(N/2)=(1/4)πd^2nV/N
n=N/πd^2
V(x)=(1/2)πd^2nV/(N/2)=(1/4)πd^2(N/πd^2)V/N=(1/4)V=V/4
V(x)=V/4
也就是说,单向半球所有均方根速度平均到每一个分子上的X轴正向速度分量只有V/4
kaisumi3
默默无闻
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上面的积分搞错了
重来
dS=2π(d/2)^2sinθdθ
如果我们把定积分的区域(0,π/2)
对应X轴正向速度分量半球面积分
Vs=∫∫nVcosθds=∫nVcosθ2π(d/2)^2sinθdθ
=(πd^2/2)nV∫cosθsinθdθ
=(πd^2/2)nV∫(1/2)sin2θdθ
=(πd^2/2)nV(-1/4)[cosπ-cos0]
=(πd^2/2)nV(1/2)
=(1/4)πd^2nV
由于是半球,所以,单个分子的X轴正向分量要除以N/2,于是有
V(x)=(1/4)πd^2nV/(N/2)=(1/2)πd^2nV/N
n=N/πd^2
V(x)=(1/2)πd^2nV/N=(1/2)πd^2(N/πd^2)V/N=(1/2)V
V(x)=V
也就是说,单向半球所有均方根速度平均到每一个分子上的X轴正向速度分量只有V/2
kaisumi3
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我们用碰撞截面表示碰撞频率
Z=nUσ
其中,σ=πd^2/4
公式形式与课本的形式一致,但是,碰撞截面不同,课本上的是σ=πd^2,比我们的大4倍。
他们错误的把碰撞截面算大了4倍,这是他们的图
下面的是我们的图
(上楼被吃掉了,两图重上)
kaisumi3
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微观压强为什么会是1/3
实际上,微观压强应当是被1/6均分,但是,如果对于一个正方体,则轴向正向一去还要一回,简单的认为会有6个不同的正交方向,正向加上反向,就是6个基本的方向,但是,但返回时,就会在中间增加一次碰撞,也就是说把一个正方体中的分子分成6份,每一份会向着某6个方向之一运动,但是,返回的过程中,必然中间要遭遇一次碰撞,由此,使得碰撞间距缩小了1倍。于是就,2(1/6)=1/3了。
P=(1/3)ρU^2
或者说增加了一倍的碰撞。
对于一个正方体V=d^2,分子数为N,分子数密度为n,分子直径d0,分子中心间距L,分子空隙间距L0
n=N/d^3
Z=nUσ
其中,σ=πd0^2/4
Z=nUπd0^2/4
Z=U/λ
其中,λ自的由行程
λ=4/nπd0^2
自的由行程与分子速度基本无关,只要分子具有速度,则直接由分子数密度就确定了。走多远的距离必然碰撞到另一个分子。
n=1/L^3
λ=4L^2/πd0^2
可见,自的由程与分子间距具有确定的关系。
kaisumi3
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对于流体,冲击力(不考虑被冲击对象的速度,设定为0),已有实验证明
P=ρV‘^2
F=ρSV’^2
其中,V是液流速度
实验在误差2%以内是有效的。这是个单向动压。
在微观上,也是如此
P=ρU^2
但是,微观与宏观不同的是,宏观中的流速是只所有的液体分子都共同具有的单向速度。而在微观的气体中,只有1/6的分子才具有6个方向之一的方向上的速度,只是假定为这1/6的分子才具有同向的等速。由此,
P=(1/6)ρU^2
但是,返回过程中中间要增加一次碰撞,使得碰撞频率增大了一倍,于是,必须要乘以2,所以,才有
P=(1/3)ρU^2
这个是全向压强。
由此宏观微观并不相互矛盾,而实质是一样的。
ρ=m/V=m0N/V=nm0
P=(1/3)nm0U^2
P=(1/3)(N/V)m0U^2
P=(N/3)(1/V)m0U^2
(N/3)说明什么,说明应当有(1/3)N的分子正在向某6个方向之一运动及碰撞,但实际上,总共简化为6个方向,则必须是(1/6)N才成,而作为碰撞,则就需要来回发生,于是,就变成了有(N/3)的分子在同一个轴线的正反方向上来回碰撞。我们的解释是,如果分成(1/6)则对应碰撞频率会增加一倍或碰撞自的由行程缩小一倍。由此,才会有
P=(1/3)ρU^2
其中,U为均方根速度。
P=(1/3)ρU^2=(1/3)nm0U^2=(2/3)nE0
E0=0.5nm0U^2
为分子的动能
如果所有的分的子,都朝向唯一的一个方向运动并前去碰撞,其结果必然只能是
P=ρU^2
这就是宏观流体的流速与单向动压的基本关系。
kaisumi3
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具体到空气,空气分子会受到引力作用,
F=Gm0M/(r0+h)^2
g=GM/(r0+h)^2
在海拔高度差别不大的情况下,g引力加速度(重力加速度看看成是个常量),地表附近
g=GM/r0^2
引力势U0=GM/r0
空气分的子在引力作用下,具有动能E0
E0=0.5m0U^2
Ep=-Gm0M/r0
0.5m0U^2=Gm0M/r0
U^2=2GM/r0≈2g(r0+h0)
空气压强P=(1/3)ρU^2=(2/3)nE0
P=(1/3)ρU^2
(1/3)ρU0^2+(1/3)ρV'^2=(1/3)ρU^2
U^2=2gh
(1/3)ρU0^2+(1/3)ρV'^2=(1/3)2ρgh
(1/2)ρU0^2+(1/2)ρV'^2=ρgh
P0+P'=Pz
P0+(1/2)ρV'^2=ρgh
其即为静压强方程(伯努利)
而单向动压实际
P=ρV'^2
单向动压转换为静压的关系是
P'=(1/2)P
P=2P‘
kaisumi6
富有美誉
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碰撞中的速度规律
分子的碰撞中,是一个连续不断的过程,当一个分子具有(U+ΔU)的速度,去与其它分子均具有速度U,进行碰撞,经过多次碰撞,ΔU就会被均化。
由于分子的速度具有个向性,而这个ΔU开始只具有单向性,为表示这种差别,则用
(U+ΔUx)
由于,其余分子均具有平均速度U,并认为其是
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2
任何一个速度,其只要发生方向改变,改变的结果,就会是,各个速度的分量的矢量和。
比如一个小球匀速U圆周运动中,该速度会不断的改变运动的方向,但是,其动量的绝对值并没有改变。但是,其速度分量会持续的改变,而圆周运动只有两个分量,由此
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2+|0|^2
矢量合成就是这样的。
所以,一个具有速度U的小球,其动量为P
P=mU
其动量的绝对值|P|=m|U|
但是,如果其转变了一下方向,即便速度U依然根本没变,但是,两个速度分量已经不再能直接非矢量相加了。
|U|≠|Ux|+|Uy|
而只能是
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2
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如果这个速度U的方向任意改变,则仍然不会有
|U|=|Ux|+|Uy|+|Uy|
而只能是
|U|≠|Ux|+|Uy|+|Uy|
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2
可以明显的看出,正是由于速度的矢量和,导致出现了速度的平方。而小球的质量m本身是不变的,由此,动量P不能为
|P|=|Px|+|Py|+|Pz|
而只能是
|P|^2=|Px|^2+|Py|^2+|Pz|^2
令|Ux|=|Uy|=|Uz|=|Ui|,则有
|Px|=|Py|=|Pz|=|Pi|
|P|^2=3|Pi|^2
|P|=(3)^0.5|Pi|
当我们表示,一个粒子的综合动量时,可用|P|^2加以替代,由此,可以看出P与|P|^2两者之间 的差异。
但实际上,仍然要把速度分成6个方向,于是有
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2+|-Ux|^2+|-Uy|^2+|-Uz|^2
|U|^2=2(|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2)
由此,有
(1/2)|U|^2=(|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2)
令|Ux|=|Uy|=|Uz|=|-Ux|=|-Uy|=|-Uz|=|Ui|,则有
|U|^2=6|Ui|^2
(1/2)|U|^2=3|Ui|^2
我们把一定体积的气体的质量m乘以两边
(1/2)m|U|^2=3m|Ui|^2
如果不考虑其他问题,则有
(1/2)m|U|^2=m|Ui|^2
(1/2)m|U|^2=m(|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2)
即
(1/2)m|U|^2=(|Px|^2+|Py|^2+|Pz|^2)/m
(1/2)m|U|^2=|P|^2/m
得
Ek^2=P^2/m
考虑到,对于单个粒子,其一般不会同时具有两个相反方向的速度,于是有
|U|^2=|Ux|^2+|Uy|^2+|Uz|^2
(1/2)m|U|^2=(|Px|^2+|Py|^2+|Pz|^2)/2m
(1/2)m|U|^2=|P|^2/2m
Ek^2=P^2/2m
即得到所谓的动能与动量的基本关系式
其实,都是动量矢量中速度矢量的分解与合成捣的的鬼。
|P|^2=2mEk^2
|P|^2=(m|U|)^2
由此我们完全可以用绝对动量|P|取代动能。
(速度增量,没进行继续分析,留待之后再来分析)
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