360百科:洛伦兹变换简明推导
公设一
相对性原理。物理规律(包括力学规律在所有的惯性系(惯性系就是能让牛顿第一定律成立的参考系)中都是相同的。也就是说,不同惯性系的物理方程形式是相同的。比如,在低速条件下,牛顿三定律的公式在地球惯性系中是这样写的,在太阳惯性系中也是一样的写法
折叠公设二
光速不变。在所有惯性系中,真空中的光速等于恒定值c。光速大小与参考系之间的相对运动无关,也与光源、观察者的运动无关
推导过程
现在根据这两个事实,推导坐标的变换式
设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系,S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为(x,y,z,t)、(x',y',z',t')。两惯性系重合时,分别开始计时
若x=0,则x'+vt'=0。这是变换须满足的一个必要条件,故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为
x=γ(x'+vt') (1)
式中引入了常数γ,命名为洛伦兹因子
(由于这个变换是猜测的,显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性)
在此猜测上,引入相对性原理,即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为
x'=γ(x-vt) (2)
y与y'、z与z'的变换可以直接得出,即
y'=y (3)
z'=z (4)
把(2)代入(1),解t'得
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)
在上面推导的基础上,引入光速不变原理,以寻求γ的取值
设想由重合的原点O(O')发出一束沿x轴正方向的光,设该光束的波前坐标为(X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T')。根据光速不变,有
X=cT (6)
X’=cT' (7)
(1)(2)相乘得
xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8)
以波前这一事件作为对象,则(8)写成
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9)
(6)(7)代入(9),化简得洛伦兹因子
γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)
(10)代入(5),化简得
t'=γ(t-vx/c^2) (11)
把(2)、(3)、(4)、(11)放在一起,即S系到S'系的洛伦兹变换
x'=γ(x-vt),
y'=y,
z'=z,
t'=γ(t-vx/c^2) (12)
根据相对性原理,由(12)得S'系到S系的洛伦兹变换
x=γ(x'+vt'),
y=y',
z=z',
t=γ(t'+vx'/c^2) (13)