求助啊。

角格点

角元塞瓦定理

先利用角元塞瓦定理求∠DAC=30°
再证明AD=BD+CD

我印象里，这好像是初二数学竞赛历史上最难的一个几何题(如果要求纯几何方法)。

延长CD至E点，使得ED=BD，这里面很多直角三角形，很好证的

辅助线有很多种作法。如果能够证明以A为顶点的40°角被AD分成左侧x=10°，右侧DAC=30°，下面两种辅助线的作法，左侧红色虚线的是一种；右侧蓝色虚线另一种。

如果用左侧的红色，作CD延长线上一个点G使得DG=BD，则易证DBG是等边三角形；再用边角边SAS: BG=BD,<GBA=DBA,AB+AB,得到两个三角形BAG全等于ABD; AG=AD,x=<BAD=<BAG=10°
所以，<CAG=50°，AGC是等边三角形，所以AD=AG=CG=CD+BD得证。
我感觉用右边的辅助线作法还要添加一个辅助圆，稍显复杂了点。
此外，角元塞瓦定理证明 x=10°，上面的比例式子写颠倒了一个分子和分母。而且通过这种三角变换证明角的度数，大部分情况下的确比较难，真正的难度在于; 1. 想到角元塞瓦定理；2. 通过三角函数关系式证明一个角为10°

角A是左边的还是右边的？