到目前为止，我们一直考虑的是一维空间。读者可能对这种说法感到奇怪，前几章叙述的不正是复平面、黎曼球面和其他各种黎曼曲面吗?但是，从全纯函数的角度看，这些曲面本质上都只是一维的，这个维是复维。我们可用一个参数将这种空间点与其他种类的(局域)空间点区别开来，虽然这个参数是个复数。因此，这些"曲面"实际上应被看成是曲线，即复曲线。
我们可以将一个复数z 分成实部和虚部(x ，y) ,即z = x + iy ，这里z 和y是两个独立的实参数。但如何将一个复数按此方式进行划分已不属于全纯运算的范畴。只要我们关心的只是全纯结构.就像我们到目前为止所考虑的复空间情形，我们就必须把单个复参数看成是仅提供一维。这至少是我建议应当采取的观点。
另一方面，人们也可以采取相反的观点，就是说，全纯运算只是更一般运算的一种特例。只要愿意， x 和y 就都可以分开来作为各自独立的参数来考虑。实现这一想法的适当方法是通过复共轭概念.这是一种非全纯的运算。
在z 复平面内，得到一个复数的复共轭的运算相当于平面关于实线的反射，全纯运算总是保复平面定向的。如果我们打算考虑(部分)倒向复平面的共形映射，那么我们就需要将复共轭运算包括进来。但考虑到其他标准运算(加、乘、取极限)，复共轭也允许我们将映射一般化，使它们不必是共形的。
实际上，部分复平面到部分复平面的任何映射(譬如说是连续变换)都可以通过共轭运算和其他运算一起共同来实现。