2楼. 在下近日在研究一些数论相关的问题。其中肯定绕不过一些难题。
比如费马大定理:
X^n+Y^n=Z^n
对于整数X,Y,Z还有n,在n>2的时候无解(没有可以使得等式成立的X,Y,Z,n)
yyl_new 2018-2-16 回复(7) 3楼. 这些数论难题的难度,对于数学爱好者或者相关工作者而言,是不用多说的。
所以,基本上没有人会建议一个普通高中生或者本科生研究这类题目:因为可能要用一辈子也无法解答,毕竟让一个人一辈子就这么“必然失败”,确实很不负责任。
所以我这里提出的问题,显然也不是要任何人来解答这个问题本身。
yyl_new 2018-2-16 回复 4楼. X^3+Y^3=Z^3 无整数解,这个应该不难,似乎也能在网上找到初等证明。
X^4+Y^4=Z^4的证明我没有找到。
而这么一个个的证明也是无穷无尽的。所以这种“纯体力活”是条死路。
那么,能不能转换一下,换一个题目来考虑:
说X^3+Y^3=Z^3无整数解,那么
X^3+Y^3+Z^3=W^3 (左边3个整数的平方的和)
有没有整数解?
这可能根本就是一个常识,或者早就有人解答了。但是,在网络上输入数学公式还是比较困难,很多公式都是在图片里面,而这类图片的识别率是比较低的(不知道百度或者Google什么时候会在这方面加强一下)。
如果是这样的话,希望有吧友帮我确认一下,到底这种三元的情况有没有正整数解(因为是数论问题,所以这里的整数只考虑正整数)。
yyl_new 2018-2-16 回复(2) 5楼. 然后,再扩展一下(如果上述四元方程有正整数解的话):
X^4+Y^4+Z^4+W^4=A^4
这种5元,4次的方程有无整数解?
说明:用“正整数”而不是“自然数”是为了避免“0是不是自然数”的问题。因为这个问题总是含糊不清,原因可能是数论中对0的处理和其它分支中对0的处理不同造成的。实际上,就从一个普通的认知角度(不需要数学专业的东西)来看,0到底是不是自然数,也是有问题的:0意味着不存在么?如果是的话,那么不存在又是如何存在的呢?否则怎么能出现关于它的描述呢?
yyl_new 2018-2-16 回复 6楼. 再进一步说,
对于n次,n+1元的此类(各元皆是正整数)方程,是不是都有解?
而对于n次,少于n+1元的此类方程,是不是都无解?
如果这个问题可以确认,那么,后面的问题就好办了。
yyl_new 2018-2-16 回复 7楼. X=Y
X+Y=Z
2元1次,3元1次都是有解的,自不用说。
X^2+Y^2=Z^2
3元2次,也就是求使得勾股定理成立的正整数是有解的(大家最熟悉的一组是3,4,5)。
X^3+Y^3+Z^3=W^3
有没有解,我暂时不知道,但是可以跑个程序试一下。
稍候。
yyl_new 2018-2-16 回复(1) 8楼. 寻找1000以内的,符合4元3次方程的正整数程序片段(C#):
注意:此程序片段为尽量表达计算目的,未进行任何优化
const long M = 1000;
for (long x = 1; x <= M; x++)
{
for(long y = 1; y <= M; y++)
{
for(long z = 1; z <= M; z++)
{
for(long w = 1; w <= M; w++)
{
if(x*x*x+y*y*y+z*z*z == w * w * w)
{
Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",x,y,z,w);
}
}
}
}
}
yyl_new 2018-2-16 回复 10楼. 程序算出来的东西,应该没什么问题。
我只验证了第一个,正确,后面的应当同样正确,因为在10^9不会造成长整数(64位有符号)溢出的前提下,用的是同样的算法。
yyl_new 2018-2-16 回复 11楼. 看来百度不满意太长的数据,换一个短一点的:X数到,2,不排除重复数据。
1,6,8,9
1,8,6,9
1,71,138,144
1,135,138,172
1,138,71,144
1,138,135,172
1,242,720,729
1,372,426,505
1,426,372,505
1,426,486,577
1,486,426,577
1,566,823,904
1,720,242,729
1,823,566,904
2,12,16,18
2,16,12,18
2,17,40,41
2,40,17,41
2,142,276,288
2,270,276,344
2,276,142,288
2,276,270,344
2,514,947,995
2,947,514,995
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